篇一：高斯公式通量与散度教案
高等数学教案
篇二：2.4 高斯定律(教案20030508)
2.4 高斯定律
2.4.1 真空中的高斯定律
（1）E的闭合面通量
在静电场中有一曲面S，在其上取一面元dS ，建立面元矢量 dS?dSen，穿过dS面元的电场强度的元通量为
d?E?E?dS
穿过S面E的通量为
?E??SE?dS
若S为闭合曲面，en为其外法线单位矢量，则E在S上的净通量为 ?E?SE?dS（2）真空中的高斯通量定理
定理内容：在真空电场中，穿出任意闭合面E的通量恒等于闭合面内电荷的代数荷除以真空的介电系数?0
sE?dS?
q
ε0
（2.4.1）
q
证明：设电场E是由点电荷q产生的，即 E?e，则E的闭合面通量 2R
4πε0R
sE?dS?
eRq
?dS s2
4πεR0
en
又eR?ds?cos?ds，则上式被积函数为
E
eR?dScos?dS?2
RR2
以q所在的r?点为圆心，R为半径作一球面S?，cos?dS?dS?是dS在球面S?上的
dS?对点电荷q所在的r?点投影，如图所示。
形成一个空间锥，称这个空间锥为立体角，用d?表示。从图中可以看出，dS和dS?对r
?
r?
点所张的立体角是相等的。整个球面对r?点所张的立体角为4?，而d?与整个球面的立体角之比应等于面元dS?与整个球面面积之比，即
dΩdS?
?
2
4?4πR
因此立体角
dS?cos?dSeR?dS
d??2??（2.4.2）
22
RRR
上式为空间任意面元矢量对空间任一点所张的立体角d?。将它代入积分式得
q
d? sE?dS?4πsε0
分析任意形状的闭合面S对r?点所张的立体角：
① 当r?点位于
S内时，曲面S与球面S?对r?点所张的立体角相等，为4?。
的一部分S1对r?点所张的立体角为正，而另一部分S2对r?点
r?
② 当r?点在闭合面外。S
S
所张的立体角为负，两部分的立体角等值异号互相抵消，于是曲面S对r?点所张的立体角为零。
由此可以更清楚的认识到：真空中电场强度E的闭合面通量只与闭面内的电荷和?0有关，而与闭面外的电荷无关。（2.4.1）式可以推广到体电荷、面电荷、线电荷以及点电荷系产生的电场。证毕。
2.4.2 高斯定律的一般形式
（1）高斯定律的积分表达式
当有电介质存在时，电场是自由电荷q与极化电荷qp
在真空中共同产生的。运用真
空中静电场的高斯定律，总的净电荷将包含自由电荷q和极化电荷qp
SE?dS?ε
讨论闭面内的体极化电荷
q?qp
qp??V?pdV??V???PdV??SP?dS
代入积分式得
ε0E?dS?q?P?dS
S
S
即
S(ε0E?P)?dS?q
D?ε0E?P（2.4.3）
令
称D为电位移矢量，单位是C/m2（库/米2）。有
SD?dS?q （2.4.4）
这就是高斯定律的积分表达式。它表明D的通量只与闭合曲面S内的自由电荷有关，而与介质的极化无关，也与介质结构、状态、分布无关。
理解高斯定律应注意：①高斯定律是基于场的观点，从整体上来反映场与源之间的关系，闭合曲面S可以跨多种介质，而不受介质影响；② D（或E）的闭合面净通量ψD (或ψE)仅与闭合面内的电荷相关，而D（或E）本身则与产生电场的所有电荷以及介质的特性与分布情况相关。 （2）高斯定律的微分表达式
考虑静电场域空间内有体密度为?(r?)的体电荷连续分布。若D连续可微，任取一闭合面S，S所包围的体积为V?，由高斯定律，有
SD?dS?q??V??dV?
应用高斯散度定理，得
?V???DdV???V??dV?
考虑到闭面S的任意性，S所包围的体积V?必有其任意性。上式成立必然有
??D?? （2.4.5）
称为高斯定律的微分形式，它更为直接地反映场与源之间的关系。高斯定律的积分形式和微分形式，反映了静电场的另一基本性质，即静电场是有“源”场，其“通量源”为电荷，或说静电场的有散性。
2.4.3 电位移矢量D
电位移矢量的定义式
D?ε0E?P
将场强E的与介质的极化联系起来，包含了电介质极化对电场的影响，又称此式为介质的构成方程（或称本构关系），这是电场中引出的又一个基本场量。D的单位是C/m2 (库/平方米)，表示电场中某点处垂直于电场方向的单位面积上穿过的电通量。
在各向同性线性介质中，有P?εE，代入上式 0χ
D?ε)E 0E?P?ε0(1?χ
)?ε令ε?ε0(1?χ0εr ，有
D?εE（2.4.6） 0εrE?ε
称为各向同性线性介质的构成方程，式中ε称为电介质的介电系数，单位为F/m；
ε/εr>1）称为相对介电率，无量纲。 r?ε0（ε
对于无限大各向同性线性介质，ε为标量，高斯定律可写成S?E?dS?q。若再加上是均匀介质这个条件，ε将为常数，则高斯定律为
SE?dS?ε
q
比较真空中的高斯定律，在形式上相当于把ε?ε0，介质极0换成了介电常数ε。由于ε化削弱了原电场，在同样自由电荷分布情况下，介质中的电场为真空中的1/εr倍。由此可知，处于无限大各向同性线性均匀介质中的电场，库仑定律以及由此导出的计算电场强度、电位等场量的场-----源关系式，只需将ε0换成ε，计算中只考虑自由电荷，就得到
介质中计算场量的各类公式
qq?r?r??E(r)?e? 2R34π?R4??r?r?
1?(r?)(r?r?)E(r)?dV??3V?
4π?r?r?
1?(r)?
4π?
2.4.4 高斯定律的应用
?V?r?r?
?(r?)dV?
?C
应用高斯定律计算电场的分布是我们要掌握的基本计算方法。
当电场分布具有某种对称性（如球对称性、无限长圆柱对称性和无限大平面对称性）时，应用高斯定律求解这类电场来得十分简单，这种方法的关键步骤是：是选择一个合适的闭合面，称之为“高斯面”，使在该闭合面上的E或D的模值为同一个值，方便于进行闭合面积分。现在，通过算例来说明这一方法的应用。
例1. 真空中有电荷以体密度?均匀分布于一半径为a的球内，试求球内、外的电场强度。
解： 分析此例，场的分布呈球对称性，以对称中心为坐标原点，建立球坐标。作半径为r的同心球面正好是球对称面，取它为高斯面。 （1）r < a时
SE?dS?SEer?erdS
?ESdS?
2
E
?dV? ?V?
?0
Emax
1
4πr3?
E?4πr?
3ε0
?r
E?
er
3ε0
o
a
r
篇三：从高斯求和的教学设计想到的
从“少年高斯的速算”教学设计想到的
周沐海
一个偶然的机会，看到了从少年高斯求和的速算教学实录：
教师：高斯是19世纪德国伟大的天才数学家，被誉为“数学王子”。相传高斯在读小学的时候，老师在黑板上写下这样一到题目：1+2+3+4+??+97+98+99+100=？同学们，你们也试一试，如何计算呢？
（稍微给一点时间之后??）
教师：请同学们首先认真的、静静的回想一下，你的第一想法是什么？
（稍微给一点时间之后??）
教师：一个个相加求和？
学生（异口同声）：不是！这太繁琐了！
教师：是的。老师也不是想让我们这样算吧？那有没有简便算法呢？
学生（先迟疑，后肯定）：应该一定有简便算法！
教师：那我们怎么办？——看这些数字有什么特征！对不对？你们认真观察，好好想一想。
学生甲：这是从1到100这100个连续自然数的和。
教师：是啊！那每一个数之间有什么特征？
学生乙（恍然）：后一个数都比前一个数多1！
教师：非常好！继续！
学生全体（迫不及待）：前一个数都比后一个数少1！
教师：太好啦！
学生丙（兴奋而自豪）：其实我发现如果分别从首尾顺次取数并将对应的两个数相加，其和都等于101。
教师：噢！还可以这样看，大家说是吗？
学生全体（恍然、兴奋）：是的。我知道怎样算了！
教师：怎么算？我们还是应该让这个同学说一说吧。
学生丙：如果分别从首尾顺次取数并将对应的两个数相加，其和都等于101。这样，共有50组101，所以，和就应该是101×50=5050。
教师：真是太好啦！看来你们也都是“小高斯”啊！不信吗？让我们还原一下高斯的思维历程（板演）。
教师：同学们再想一想，如果让你求1+2+3+4+??++8+9+10的和，你们能不能立刻算出来？
学生（几乎异口同声）：55。
教师：看来大家真的领悟了！你们课余时间，还可以自己编一些类似的题目，做一做，重要的是看能不能悟出一个规律。由一些特殊的同类问题，归纳一般规律，这就是做数学的乐趣！
【案例解读】
或许，没有哪位小学数学教师不向学生讲这个故事，但通常只是让学生自己算一下，看谁算得又快又准；或者，有些教师也会启发引导学生采取巧妙的算法，但没有系统而有条理地设计一个完整的问题解决情境，这样就不能让学生深刻理解其中的数学内涵和教育价值。 那么这个故事背后的数学内涵和教育价值在哪里？
从数学算理上分析，这里体现了高斯精妙的运算技巧——创造性地利用加法交换律和结合律，实现加法向乘法转化。从思维品质上分析，这里体现了高斯精美的数学思维——思维的变通性——追求算法简单；思维的直觉性——数字内在和谐；思维的概括性——寻找普遍规律。进而，从数学的观念和意识上解读，这里蕴涵着高斯对数学的序的概念以及对称与守
衡特征的一种审美直觉和深刻理解，也反映出高斯面对看似复杂繁琐的数学问题所表现的坚定信念和创造欲望。
无疑，充分挖掘数学历史题材的文化教育价值，让儿童追寻数学家的创造踪迹，这对激发学生的数学学习兴趣，引发学生的数学思考极富启发意义。
显见，上面的教学设计实际是对高斯的思维历程进行了还原，而且，教学过程中贯穿的问题和师生之间的互动有机地融为一体。这样，学生不仅可以完整而深刻地理解这个问题的数学内涵——知识、思想、方法；而且也能充分领会数学的文化价值——信念、兴趣、情感、审美等。
在对高斯的思维历程进行了还原之后，教师还把问题做了进一步引申，并让学生自己去“玩一玩”数学，这实属精彩！而最后的结语又从数学思想方法论的角度对学生进行了渗透，这又实属难能可贵！
通过刚才这个案例的介绍和解读，我想每一名数学教师都会有自己的思考。数学教师要研究的东西很多。尤其是新课程实施以来对教师的要求更高了。
新课程实施以来,小学数学课堂教学发生了巨大的变化。无论对新课程理念的理解和把握，还是课堂教学教与学方式的转变，都与传统的课堂教学有着质的改变。但随着课程改革的不断深化，我们在深入探讨课堂教学有效性的同时，更应思考我们的教学。要有我们自己的坚持，要有我们自己的反思。下面结合自己的学习与实践,对数学教学谈点个人的一些思考：
我想作为数学教师，在思想上一定要统一几个认识。
课程标准上点明：数学教学基本的出发点是促进学生全面持续和谐的发展。那就是说数学教学不但要关注知识的传授，技能的培养，还要关注学生数学思考能力的发展，关注学生情感态度的积极变化。
数学教学要从儿童的经验和已有的知识出发，那就是说，我们在教学的时候，不仅要考虑学生通过教材所获得的逻辑数学知识基础，还要考虑学生从生活中，从各种渠道所获得的现实的知识基础，从现实出发来组织教学。
数学学习归根到底是儿童自主的完成认知建构，因此学生是学习的主体。为了帮助学生更好的学习，老师应该发挥组织、引导、合作、帮助的作用。
学生的学习方式是多元的，不因该是一元的，对学生的评价应该不断的改革。
反思现在的教学出现了什么问题呢？
有很多事情做过了头。
例如数学教学要和儿童的生活实际相联系，有的人就提出数学教学生活化的口号，这就过了头。有一句名言，真理向前多走一步就变成了谬误，即使是沿着正确的方向。再例如，有的教师在教学中忽视知识技能的训练，致使学生成绩过早出现了两极分化。片面追求发散式学习，这种学习方式的单一化和形式化，甚至有的课堂上，只是追求热闹，追求轰动效应，耗费了很多宝贵的教学时间，降低了教学的效率，如此等等。
那么应该怎么办呢？
我们应该实事求是的分析现状，发扬成绩，改进不足。
本着这个想法我来谈谈我的思考。
一、创设情境导入新课的问题。
过去导入新课是从复习旧知识开始的，复习旧知之后，讲授例题，得出结论，组织练习。现在导入新课，是从创设问题情境导入的，情境创设之后，提出数学问题，让学生探索交流，建立数学模型，再解释应用拓展。两种不同的课堂结构，决定了不同的导入方式：复习导入与情境导入。
那么这两种导入方式各有什么利弊呢？复习旧知识导入它的优势是能够找准新知识的生长点，扫除学习新知识的障碍，打实知识基础，使新知识的学习更加顺畅，能够做到精讲多练，培养学生的数学技能，单从数学知识与技能的教学来说，这种导入方式是好的；但是这
种导入方式没有给提供学生自主检索有用信息与的机会，削弱了问题的挑战性，暗示了解题思路，降低了学生的学习热情，也不利于学生开展有个性的思维活动，这是它的弱点，换句话说，不利于培养创新型人才。那创设问题情境导入有什么好处呢？问题情境创设出来了，学生面对情境要自己搜集问题信息，自己想方设法来解决问题，使得问题具有挑战性，使得学生有探索的热情，使得学生能够自主地进行思考，有利于培养学生探索意识和创新意识；它有两个缺点，第一个弊端：有一些学生基础知识不好，他的探索无法进行。别人探索进行交流的时候，由于他的基础太差，别人的交流他也听不懂。学习效果不好。第二个弊端，如果处理的不好，情境中的非数学内容会吸引孩子的注意力，使他处于亢奋状态，一时转变不到数学内容的学习，偏移了教学目标，耗费了教学时间。
凡事都有利和弊，权衡利弊，我们一般情况下应该创设问题情境导入。那么创设什么样的情境？怎样创设情境？我谈四点。
1、问题情境可以是生活情境、童话情境、数学问题情境。
所谓生活情境：既有学生亲身经历过的学校与家庭生活，也有学生能够理解的社会生活，还有在这个基础上可提升的科学与社会常识。这样的情境容易激活学生的生活经验，能够使学生感到这样的数学学习有用。因此选择这么多的情境。
所谓童话情境：童话情境对于大人而言是虚构的模拟的，对于学生而言，他们感觉是真实的，感兴趣的。它有什么好处呢？编者、教师可以根据教学的需要随心所欲地组织数学材料。小猴子摘桃子，想摘多少摘多少，想放几筐，放几筐。一切为了教学的需要，容易处理素材。
但是问题情境不等同于生活情境和童话情境，有些可以根据数学自身发展的需要来提出问题创设情境。
例如三角形的内角和的教学，有的人硬创设情境，说一块三角形的玻璃坏了，想把坏的角配上，该怎样计算角的度数？这样的情境太生硬。三角形的玻璃本来就不多，即使坏了再买一块换上就行了吧，谁还单配那一点呢。
有的老师怎样创设情境的呢：
师说：我们在学角的度量时，你们都量了三角板各个角的度数，你们谁能说一下三角板各个角的度数，
学生说出三角板各个角的度数之后，
老师又说：你们迅速算一下三角板的三个角的内角和是多少？
学生算出是180°，
老师说：三角板上三个角的度数是固定的，它们之和都是180°。如果我们任意画一个三角形，那它三个角的度数之和是多少呢？是固定的呢还是不固定的呢？如果固定的话是不是也是180°呢？这个问题我们要进行研究。你们研究的方法是什么？
学生可能说画出个三角形，量三个角的度数。
师;说这是一种办法
师：下面我建议你们在小组内分分工，有的人画锐角三角形，有的人画钝角三角形，有的人画直角三角形，然后研究和的时候，除了用量角的方法，每个小组至少再想出一种方法。下面开始活动。
这样的导入不同样激发学生的热情吗？
另外教材上没有编写复习旧有知识的内容，但是不等于说课堂上就不可以复习旧有知识。一般情况来讲，复习旧知识的着眼点不要放在分解新知识的要素，降低新知识的难度上，不要局限于教材所需要的那些知识层面，可以着眼点高一些。
例如教梯形的面积。
师:我们已经研究过了平行四边形的面积，研究平行四边形的面积时你们是把它转化成什么图形的？怎么转化的？
生说：转化成长方形，用切割拼接的方法转化的。
师:三角形的面积我们也学习过，三角形你们是转化成什么图形，怎么转化的？
生：用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，根据平行四边形的面积公式推导出三角形的面积公式。
师：这节课我们研究体形的面积你们打算怎么研究呢？如果需要的话，课本的最后一页有梯形，你们可以把它剪下来研究。
这种导入，从思想方法上导入，这个着眼点就高。
如果你们的班基础不行，教师就可以提示学生用研究三角形面积公式的方法研究梯形的面积公式。要实事求是。
2、要分析教材提供的情境对一节课的数学教学发挥的作用。
虽然每堂课的例题都创设了情境，但是教材中创设的情境，对这节课发挥的作用是不同的。有的只是起了引入新课的作用，有的起了引领全课的学习，有的有利于启发学生的思考，突破教学的难点。
先说起引入作用的：三年级上册５８页有一道例题，实验小学三年级３个班上学期卖废纸和矿泉水瓶一共收入６１２元，平均每个班收入多少元？学生会列出算式６１２÷３。这个例题有什么作用呢？就是让学生感觉到在现实生活中有时会出现三位数除以一位数的运算，至于如何计算，情境不再提供任何支持，只提供“敲门砖”的作用。
再说引领作用的：一年级下册４９页学习两位数加一位数的口算。教材创设的情境是汪汪乐园２８本，海底世界４本，淘气历险记９本，咪咪学校８本。
有的老师这样设计
师；这幅图告诉了我们什么？
生：各种书有多少本？
师：你能提出哪几个一步加法计算的问题？
学生说一个，老师记一个。并让学生说出算式。老师写出来，共六个。在这里共写了６个算式，让学生观察比较哪些算式是我们学过的知识，哪些是新的知识？
学生会说，一位数加一位数的进位加法我们已经学过，两位数加一位数的进位加法是新的知识，
师：那我们今天就来研究两位数加一位数进位加法的计算方法。之后再进行比较。 这样处理有三条好处：⑴培养了学生根据已有信息提出数学问题的能力。实际上进行了综合思路的基本训练。四个条件选两个提出一个数学问题，这不就是综合思路的基本训练吗？⑵学生明白了这节课学习的知识背景。我们学过了一位数加一位数的进位加法，在这个基础上我们再学习两位数加一位数的进位加法⑶算式列出后引领了学生的全课学习，它是这堂课各个教学环节的一条明线，串起了全课的学习，使课堂紧凑。
那这样说，看到条件都让学生学生提出问题吗？这不能一概而论。举个例子
小数乘小数。
一个房间长3.6米，宽2.8米。怎样求房间的面积呢？学生可以直接列式3.6乘以2.8。 如果问学生，你看这两个条件可以提出哪些问题呢？学生可以提出长比宽多多少？宽比长少多少米？长是宽的几倍？长方形的周长是多少米？提出很多的问题后，最后提出面积是多少平方米？前面提出的那些问题与今天的学习没有什么联系？因此那样提出问题虽然也是培养问题的意识，但是问题意识的培养应与本课的教学目标相一致，做到水乳交融，而不是油水分离，刚才那种做法就是油水分离。
相反的，在老师提出问题后，学生说出算式后，老师应说两句。过去我们学习长方形的面积时，长方形的长和宽都是整数，现在呢，都是小数，那你们想一想，是整数的时候怎样列式，是小数的时候还应这样列式。因为小数乘以小数的意义，不单教。只是在已有的数量关系的基础上数据的外延，扩大外延，用异数同性的道理来扩大认识，这里交代两句倒是可以的。
同样的还是长方形，长5厘米，宽3厘米，我们在研究比的时候可以这样设计：
一个长方形，长是5厘米，宽是3厘米。我们要比较长和宽，你可以提出哪些数学问题呢？
学生可以说：长比宽多多少，宽比长少多少？
那怎样计算呢？用减法。
还可以怎样比较呢？
长是宽的几倍。宽是长的几分之几？
怎样算呢？
用除法
对于两个同类量进行比较的时候，可以比较相差多少，还可以比较倍数关系，比较相差关系的这堂课我们不谈了，比较倍数关系时，我们还有一种比较的形式，那就是比，在这里让学生提出数学问题，既培养了学生的问题意识，又与教学紧密结合，这就叫水乳交融。
有的情境还能启发学生的思考：提供的直观材料有利于激活学生的生活经验，帮助学生找到解决问题的思路。
例如：三上55页除法48÷3（48个桃子分给3个猴子），48个桃子分别装在4个筐里，每筐10个，还有8个在外面，每个猴子分几个。学生根据题意能列出48÷3，学生对计算48÷3的步骤已经掌握，可是对4除以3之后余1的处理是第一次见到，学生看着书中的情境根据经验先分3整筐余下的1筐有10个和外面的8个共18个再平均分给3个猴子，学生就可以理解这种除法的算理了。像这种提供了直观的材料的情境，有助于学生的思考。
而有的教师直接出示48个桃子平均分给3个猴子，学生可以一个一个的分就体现不出余1筐的问题，教学的重点和难点没了。教师对情境的研究不理解。
再例如：三年级，两位数乘两位数。教材情境是一箱牛奶12瓶，10箱多少瓶。学生已有的基础是两位数、三位数乘一位数。这是学生第一次接触两位数乘两位数的的乘法。
10箱牛奶已经从车上搬下9箱，5箱为一摞，已经摆好了1摞，第二摞摆了4箱，另一箱正要从车上往下搬，就这种这个情景。
学生对于12×10不会算，但是看了这个情景可以先算一摞5箱有多少瓶，再算两摞这个可以。还可以先算搬下的9箱有多少瓶，再加上剩下的一箱，都得到120瓶。
这就可以引导学生思考12×1=12，12×10=120这两者有什么联系呢？这就引导学生上升到对方法的思考。这个设计就很巧妙。也有的教师直接告诉学生12×10=120，如果那样做就让学生丧失了用已有知识解决问题的机会，体现不出数学知识的严谨性。
3、要分析情境中的数学内容与非数学内容，恰当地发挥非数学内容的作用，突出数学内容。
生活情境、童话情境这里都有情境，画面。这里有数学的内容，也有非数学的内容。 非数学内容（情节和画面里含有）反映了事情的真实性，有利于激发学生的兴趣，吸引学生注意力。数学内容正是这节课的要学习的数学知识，数学思想方法。所以我们要分析哪些是数学内容，哪些是非数学内容。
教师在提出问题时要注意引导学生关注数学内容的思考。减少非数学内容对教学的影响。 例如二年级乘法的教学，情境中有很多动物，
师问“你们看到什么，想到什么，能提出哪些问题？”
学生回答：看到了小鸡，兔子，小桥、流水、草地??一样一样的说。
想到了什么?树林里可能有小鸟，水里可能有小鱼，于是围绕有没有鸟展开了争论，等等??.
能提出什么问题？小鸡是谁家的，没有人看，它不跑吗？
学生在探讨这些问题时十分兴奋。
这就是非数学内容对数学内容起到了干扰作用。。
《高斯公式教案》
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