篇一：不等式(组)的字母取值范围的确定方法
不等式(组)的字母取值范围的确定方法
近年来各地中考、竞赛试题中，经常出现已知不等式(组)的解集，确定其中字母的取值范围的问题，下面举例说明字母取值范围的确定方法，供同学们学习时参考．
一、根据不等式(组)的解集确定字母取值范围
例l、如果关于x的不等式(a+1)x>2a+2．的解集为x<2，则a的取值范围是 ( )
A．a<0 B．a<一lC．a>l D．a>一l
解：将原不等式与其解集进行比较，发现在不等式的变形过程中运用了不等式的基本性质3，因此有a+l<0，得a<一1，故选B．
例2、已知不等式组??1?x?5的解集为a<x<5。则a的范围是 ．
?a?x?a?3
图
1 解：借助于数轴，如图1，可知： 1≤a<5并且 a+3≥5． 所以，2≤a<5 ． 二、根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围
?2x?3(x?3)?1? 例3、关于x的不等式组?3x?2有四个整数解，则a的取值范围是 ． ?x?a??4
分析：由题意，可得原不等式组的解为8<x<2—4a，又因为不等式组有四个整数解，所以8<x<2—4a中包含了四个整数解9，10，11，12于是，有12<2—4a≤13． 解之,得 ?115≤a<? ． 24
例4、已知不等式组??x?2?a的整数解只有5、6。求a和b的范围． 2x?1?b?
?x?2?a?解：解不等式组得?b?1，借助于数轴，如图2知： x??2?
2+a只能在4与5之间。图2 b?1只能在6与7之间． 2
b?1∴4≤2+a<5 6<≤7 2
∴2≤a<3，13<b≤15．
三、根据含未知数的代数式的符号确定字母的取值范围
例5、已知方程组??2x?y?1?3m?????(1)满足x+y<0，则( ) x?2y?1?m?????(2)?
A．m>一l B．m>lC．m<一1D．m<1
分析：本题可先解方程组求出x、y，再代入x+y<0，转化为关于m的不等式求解；也可以整体思考，将两方程相加，求出x+y与m的关系，再由x+y<0转化为m的不等式求解．
解：(1)十(2)得，3(x+y)＝2+2m，∴x+y＝2?2m<0．∴m<一l，故选C． 3
例6、(江苏省南通市2007年)已知2a－3x＋1＝0，3b－2x－16＝0，且a≤4＜b，求x的取值范围．
解：由2a－3x＋1＝0，可得a=
又a≤4＜b，
所以, 3x?12x?16;由3b－2x－16＝0，可得b=. 233x?12x?16≤4＜， 23
解得:-2＜x≤3.
四、逆用不等式组解集求解
例7、如果不等式组??2x?6?0 无解，则m的取值范围是． x?m?
分析：由2x一6≥0得x≥3，而原不等式组无解，所以3>m，∴m<3．
解：不等式2x-6≥0的解集为x≥3，借助于数轴分析，如图3，可知m<3．
例8、不等式组??1?x?2有解，则（）．
?x?m图3
Am<2 B m≥2 C m<1D 1≤m<2
解：借助图4，可以发现：要使原不等式组有解，表示m的点不能在2的右边，也不能在2上，所以，m<2．故选（A）．
1 23
图
4
?x?3(x?2)?2，?例9、(2007年泰安市)若关于x的不等式组?a?2x有解，则实数a的取值范?x??4
围是 ．
解：由x-3(x-2)<2可得x>2,由
因为不等式组有解,所以
所以,a?4.
a?2x1?x可得x<a. 421a>2. 2
篇二：高中数学不等式经典方法总结
次不等式：
一元二
一元一次不等式的解轴表示） 例1、已知关于x围．
例2．关于x的不等式
对所有实数x∈R都成立，求a的取值范围.
例3、若关于x的不等式x2?ax?a?0的解集为(??,??)，则实数a的取值范围是
______________；若关于x的不等式x2?ax?a??3的解集不是空集，则实数a的取值范围是______________。（-4,0）, ???,?6???2,???
几个重要不等式 （1）若a?R,则|a|?0,a
2
x?(3?a)x?2a?1?0
22
法：（依据、步骤、注意的问题，利用数
y?log2(?ax
2?ax?1)
的不等式在(–2，0)上恒成立，求实数a的取值范
?0
（2）若a、b?R?,则a2?b2?2ab(或a2?b2?2|ab|?2ab)（当仅当a=b时取等号） （3）如果a,b
(4)若a、b、c?R?,则
a?b（当仅当.
2
a=b时取等号）一正、二定、三相等.
a?b?c3
a=b=c时取等号）
ba
(5)若ab?0,则??2（当仅当ab
2
2
a=b时取等号）
2
|x|?a?x?a?x??a或x?a;|x|?a?x (6)a?0时，
（7）若a、b?R,则||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
?a2??a?x?a
常用不等式
???(根据目标不等式左右的运算结构选用)； （1
2?（2）a、b、c?R，a2?b2?c2?ab?bc?ca（当且仅当a?b?c时，取等号）；
（3）若a?b?0,m?0，则?
bab?m
（糖水的浓度问题）。如 a?m
如果正数a、b满足ab?a?b?3，则ab的取值范围是_________（答：?9,???） 常用不等式的放缩法：①1?
n
111111??2???(n?2)
n?1n(n?1)nn(n?1)n?1n
?性
?
?
?n?1)利用函数的单调
简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，
并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。 如（1）解不等式(x?1)(x?2)2?0。（答：{x|x?1或x??2}）；
（2）
不等式(x??0的解集是____（答：{x|x?3或x??1}）；
（3）设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且f(x)?0的解集为{x|1?x?2}，g(x)?0的解集为?，则不等式f(x)?g(x)?0的解集为______（答：(??,1)?[2,??)）；
（4）要使满足关于x的不等式2x2?9x?a?0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式x2?4x?3?0和x2?6x?8?0中的一个，则实数a的取值范围是______.（答：[7,)） 分式不等式的解法：先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式
中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如（1）解不等式
5?x
??1（答：(?1,1)?(2,3)）；
x2?2x?3
ax?b
?0的解x?2
818
（2）关于x的不等式ax?b?0的解集为(1,??)，则关于x的不等式集为_____（答：(??,?1)?(2,??)）. 绝对值不等式的解法：
（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如x??x?2＞a在x?R上有解,则a的取值范围是（???,3?）
（2）利用绝对值的定义；x?a(a?0)??a?x?a， x?a(a?0)?x??a或x?a （3）数形结合；如解不等式|x|?|x?1|?3（答：(??,?1)?(2,??)）
（4）两边平方：如若不等式|3x?2|?|2x?a|对x?R恒成立，则实数a的取值范围为______。（答：{}）
含参不等式的解法：求解通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是?”。注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.
如（1）若loga?1，则a的取值范围是__________（答：a?1或0?a?）；
ax2
?x(a?R) （2）解不等式
ax?1
23
43
23
（答：a?0时，{x|x?0}；a?0时，{x|x?或x?0}；a?0时，{x|?x?0}或x?0}）
提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式ax?b?0的解集为(??,1)，则不等式含绝对值不等式的性质：
a、b同号或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|； a、b异号或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|.
x?2
?0的解集为__________（答：（－1,2）） ax?b
1a1a
如设f(x)?x2?x?13，实数a满足|x?a|?1，求证：|f(x)?f(a)|?2(|a|?1)
不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用
函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） 1).恒成立问题
若不等式f?x??A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?min?A 若不等式f?x??B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?max?B
如（1）设实数x,y满足x2?(y?1)2?1，当x?y?c?0时，c的取值范围是______（答：
1,??）； ?
（2）不等式x?4?x?3?a对一切实数x恒成立，a?1）求实数a的取值范围_____（答：；
（3）若不等式2x?1?m(x2?1)对满足m?2的所有m都成立，则x的取值范围_____（答：（
7?13?1
,））； 22
(?1)n?1（4）若不等式(?1)a?2?对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是
n
n
_____（答：[?2,)）；
（5）若不等式x2?2mx?2m?1?0对0?x?1的所有实数x都成立，求m的取值范围（.答：
m??
1
） 2
32
2).能成立问题
若在区间D上存在实数x使不等式f?x??A成立,则等价于在区间D上f?x?max?A； 若在区间D上存在实数x使不等式f?x??B成立,则等价于在区间D上的f?x?min?B.如 已知不等式（答：a?1）
两个重要函数：|x|?|x?1|?3 函数y=x+练习：
1、已若x?1，求2?3x?
1x
9y
145
的最小值． 已知x＜，求函数y=4x-2+的最大值
4x?5x?14
x?4?x?3?a在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围____
1
x
2、知x,y?R?且??1，则x?y的最小值是_____________．若x?2y?1，则2x?4y的最小值是______
3、知a，b，c，d均为实数，有下列命题： <1>若ab?0，bc?ad?0，则? <3>若bc?ad?0，?
ca
ca
dcd
?0；<2>若ab?0，??0，则bc?ad?0 bab
d
?0，则ab?0其中正确命题是（） b
(x?1)2?4f(x)?(x??
1)
x?1
4.求函数的最小值.
5、求证：1?
111112342
?????2 x(1?x)??2x(1?x)(1?x)?()?2232n222327
二元一次不等式组与简单线性规划问题
1.二元一次不等式表示的平面区域：直线l: ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部分： （1）直线l上的点（x,y）的坐标满足ax+by+c=0
（2）直线l一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标都满足ax+by+c>0 （3）直线l另一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标满足ax+by+c<0
所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（x0 , y0）,从a0x+b0y+c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域。
2.线性规划：如果两个变量x,y满足一组一次不等式，求这两个变量的一个线性函数的最大值或最小值，称这个线性函数为目标函数，称一次不等式组为约束条件，像这样的问题叫作二元线性规划问题。其中，满足约束条件的解(x,y)称为可行解，由所有可行解组成的集合称为可行域，使目标函数取得最大值和最小值的可行解称为这个问题的最优解。 3.线性规划问题应用题的求解步骤：（1）先写出决策变量，找出约束条件和线性目标函数；
（2）作出相应的可行域；（3）确定最优解
例题分析：
?x?0
?
例1．若A为不等式组?y?0表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线
?y?x?2?x?y?a扫过A中的那部分区域的面积为 ( )
A．
34
B．1 C． D．5
74
?2x?y?2?0?
例2.如果点P在平面区域?x?y?2?0上，点O在曲线x2?(y?2)2?1上，
?2y?1?0?
那么|PQ|的最小值为（） (A)(B)
32
45
?1 (C)22?1 (D)2?1
篇三：不等式问题的思路
不等
不等式是中学数学的重要内容，它与代数其它内容密切相关，与立体几何、解析几何的联系也比较多，不等式的知识还可以用以解决实际生活和生产中的问题。数学高考中考查的关于不等式的内容主要有不等式的性质、不等式的证明、解不等式和不等式的应用。小题属于中低档题，大题属于中档以上的题。所占比例约为10﹪—15﹪。
在以上四部分内容中，不等式的证明和不等式的解法是两种最基本的题型，所以要首先掌握好。
不等式问题的灵魂是等价变形，亦即要求在变形前后字母的取值范围不变。在解不等式的时候是这样，证明不等式时也是这样。有时，不等价的变形难以避免，在使用了这些变形之后就要采取必要的补救措施，讨论字母的范围，找回遗失的，去掉多余的。
一、证明不等式的基本方法
1. 比较法
（1）差比较法：欲证A＞B，只要证明A-B＞0. 具体步骤为：①作差，②变形，③判断符号。这种方法常用来证明比较简单的不等式，其依据为不等式的意义：A＞B?A-B＞0.
例1.已知a，b∈R，求证a2+b2≥2（2a-b）-5.
证明：∵（a2+b2）-[2（2a-b）-5]= a2+b2-4a+2b+5
= a2-4a +4+b2+2b+1=（a-2）2 +（b+1）2≥0.
∴命题成立.（当且仅当a = 2，b= -1时等号成立）
本题在变形时用配方法解决了问题。凡与二次多项式有关的变形，都可以考虑用配方法。
（2）商比较法：欲证A＞B，若已知B∈R+，则只须证明
法单调性：A＞B，C＞0?AC＞BC，这里取C=A?1，其依据是不等式的乘B1. B
例2. 已知a，b∈R+，a≠b，求证aabb ＞abba.
aabbbb?a证明：∵a，b∈R，∴ab，ab∈R，∴ba?()， aba+ab ba+当a?b时，0?bb?1,b?a?0,由指数函数性质，()b?a?1； aa
bbb?a?1. 当a?b时，?1,b?a?0, 同理，有 ()aa
综上，命题成立.
本题的解答有两个要点：一是首先要判断符号，否则不能用商比较法，二是变形后根据指数函数的性质要分情况讨论。
例3．求证：2x4+1≥x2（2x+1）.
证明：∵（2x4+1）- x2（2x+1）=2x4+1-2x3-x2=2x3（x-1）-（x2 –1）=（x-1）[2x3 –x-1]
=（x-1）[2x3 –2x+x-1]= （x-1）[2x（x2–1）+（x-1）] =（x-1）2（2x2 +2x+1）
=（x-1）2[x2 +（x+1）2]≥0.
∴命题成立。
配方法和分解因式是比较法变形中运用最多的技巧。上述变形中要将变形进行到最后，否则易犯说理不透的毛病。另外，最后一步的第二个因式也可以这样配方：
2x2 +2x+1=2x2 +2x+111111?=2（x2+x+）+= 2（x+）2 +＞0. 422222
2. 综合法
综合法是证明不等式的基本方法之一，其模式为：欲证A?B，若已知A?C1?C2?……?B，则命题得证。综合法的优点是思路自然，容易接受；缺点是有时不易找到入口，因为不等式往往是以结论B的形式出现的，条件A常常比较隐蔽。当所证命题的结论B与已知的重要不等式联系密切时，就可以运用综合法，这时条件A即为前述已知的重要不等式。
常用的重要不等式有：
①a2≥0.（当且仅当a=0时等号成立）.
②|a|≥0.（当且仅当a=0时等号成立）.
③a2+b2≥2ab.（当且仅当a=b时等号成立）.
④a?b?ab.（a，b∈R+ ，当且仅当a=b时等号成立）. 2
a?b?c?abc.（a，b，c∈R+ ，当且仅当a=b=c时等号成立）. 3⑤a3+b3+c3≥3abc.（a，b，c∈R+ ，当且仅当a=b=c时等号成立）. ⑥
⑦|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
要熟记这些公式，包括等号成立的条件和字母的取值范围；还要掌握这些公式的变形，善于运用等价转化的方法解决问题。下面是常见的变形公式：
a?ba2?b2
①，（a，b∈R+ ，当且仅当a=b时等号成立）. ?ab??22?ab2
3a?b?ca2?b2?c2
② ，（a，b，c∈R+ ，当且仅当a=b=c?abc??33??abc
时等号成立）.
③ a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（a，b，c∈R ，当且仅当a = b = c时等号成立）.
例4.已知a，b，c，d∈R+ ，求证（ab+cd）（ac+bd）≥4abcd.
分析：由a，b，c，d∈R+和式子左端的结构，容易想到应该运用均值不等式④.
证明：∵a，b，c，d∈R+，∴ab?cd?2abcd,ac?bd?2abcd，
上两式两端均为正数，由同乘原理，相乘即得：（ab+cd）（ac+bd）≥4abcd. 等号成立的条件为ab=cd且ac=bd.
同乘原理和同加原理是非等价的变形，所以上述推理不可逆推，这在综合法证题时是可以的，但解不等式时就要特别注意，否则会使字母的取值范围发生变化（扩大）。
例5. a，b，c∈R，求证a2 b2+b2 c2+c2 a2≥abc（a+b+c）.
证明：由变形公式③，a2 b2+b2 c2+c2 a2≥ab·bc+bc·ca+ca·ab=abc（b+c+a），当且仅当a=b=c时等号成立。
3. 分析法
分析法也是证明不等式的一种基本方法，模式为：欲证A?B，若已知B?C1?C2?……?I，（I为一个真命题，可以是A，也可以是另一已知成立的真命题），
则命题得证。分析法的证题思路和综合法正好相反，是一步步寻找结论成立的条件。它的优点是思路清晰，缺点是叙述不便。一般地，较简单的不等式用比较法，与重要不等式联系紧密的不等式用综合法，而较为困难的不等式用分析法。为了防止叙述上的缺陷，可以采取如下的办法：①、将分析法的叙述句式规范化，用“要使、只要、即、亦即、就是、也就是”这样的关联词语连接推证中的相邻两命题，其中“要使、只要”表示由后往前推，“即、亦即、就是、也就是”表示前后等价。②、用符号“?”、“?”来代替上述词语。
例6.求证?2?2?7. 证明：要使?22?2?7只要(?22)2?(2?7)2 （因为式子左右均大于零）
即 3?8?4?4?7?47
亦即 4?47
就是?
只要6＜7
上式显然成立，故原命题成立。
证法2：?22?2?7
? (?22)2?(2?)2 （因为式子左右均大于零）
? 3?8?46?4?7?47
? 4?47
? ?
? 6＜7
上式显然成立，故原命题成立。
上面的证明只进行了等价变形，称为等价法。由于将一个不等式进行一系列等价变形并逐步化简后，总是可以得到一个易于识别真假的不等式的，所以等价法有很大的优点。需要注意的是：1、命题的条件是已知的，可以作为等价的前提；2、要防止不等价因素的出现；
3、需要说明的逻辑关系可以加注，如以上证明的第一步。
二、证明不等式的其它方法和技巧
证明不等式的其它方法主要有反证法、数学归纳法和等价法。数学归纳法证题的范围较为有限，而且文科高考不做要求；等价法前面已有论述，不再赘言。下面我们仅就反证法举一个例子。
证明不等式所用的技巧有构造法、放缩法、换元法和判别式法，此外，因式分解和配方法也是比较法变形时的重要技巧，要注意掌握。
1. 反证法
例7.已知a，b，c，d∈R，且a+b = c+d = 1，ac+bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一
个是负数。
证明：假定结论不成立，即a，b，c，d都是非负数，
a?c， 2
b?da?cb?d(a?b)?(c?d)??1，同理，bd≤?，于是ac+bd≤+ 2222∵a+b = c+d = 1，∴a，b，c，d∈[0，1] ∴ac≤1，ac≤ac≤
矛盾，故原命题成立。
2. 构造法
构造法是证明不等式的一种技巧。当一个不等式不易直接证明时，可以根据题目的特征，构造适当的模型，如函数、方程、图形等，求得问题的解决。函数模型最常用的是单调性，方程模型较常见的是判别式和韦达定理，图形模型常与直线和圆有关系。此外，构造法也经常与其它方法和技巧混合使用。
例8.已知a，b，c为直角三角形的两直角边和斜边，求证当n?N且n?3时，an?bn?cn.
abab,?(0,1),?()x,()x均为减cccc
axbxa2b2函数，从而f（x）也为减函数，于是x＞2时，f（x）＜f（2），即()?()＜()?()=1. cccc
anbnnnn特别，当x=n?N且n?3时，有()?()?1.即a?b?c. cc证明：构造函数f（x）=()?()，?a?c,b?c,xxacbc
3. 放缩法
abcd????2. a?b?da?b?cc?d?bc?d?a
abab????1. 证明：因为 a?b?da?b?ca?ba?b
cdcd????1. 同理 c?d?bc?d?ac?dc?d
abcd????2 上两式相加，得a?b?da?b?cc?d?bc?d?a
aabb??又 ， ， a?b?da?b?c?da?b?ca?b?c?d
ccdd??， ， c?d?ba?b?c?dc?d?aa?b?c?d
abcd??? 上四式相加，得1?， a?b?da?b?cc?d?bc?d?a例9. 已知a，b，c，d∈R+ ，求证1?
总之原命题成立。
放缩法的依据是不等式的传递性，使用时要注意放缩适度，否则将得不出结论。常用的用于放缩的结论有：
bb?m?， aa?m
aa?m② a?b?0,m?0则? bb?m① a?b?0,m?0则
1?a1?a?x?,(a,b,x?R?) 1?a?b1?a?b?x
n?1n?2n?3???...n(?0) ④ nn?1n?2③
4. 换元法
例10 .已知1?x2?y2?2,求证：1?x2?xy?y2?3. 2
证明：令x=rcos?，y=rsin? （1?r?2） 则
x2-xy+y2=r2（cos2?- cos?· sin?+ sin2?）= r2（1-
由于 -1?sin2??1?1?1sin2?） 213121322sin2??，所以r?r(1?sin2?)?r， 22222
1222而1?r?2，1?r?2，所以?x?xy?y?3. 2
以上解答运用了三角换元，这是一种常见的换元方法。换元法可以将不等式的逻辑关系显化或者使其更为简洁，除了三角换元，还有利用代数恒等式的代数换元法。
5. 判别式法
例11．设5x+2y=10，求证：x2+y2-3xy+3＞0.
证明：因为5x+2y=10，所以y=5-
x2+（5-125x，代入不等式，得 255x）2-3x（5-x）+3＞0，整理后得 22
59259x?40x?28?0,??(?40)2?4??28??52?0， 44
所以，对于任意实数x，不等式x2+y2-3xy+3＞0均成立。
a＞0时，二次函数y= f（x）＞0???0，这就建立了不等式与判别式的关系，将不等式的证明转化为计算判别式的值。运用判别式法时要注意字母的取值范围，考察变形的等价性，否则容易出现问题。
三、几种典型的不等式的解法
1. 简单高次不等式和分式不等式的解法
简单高次不等式和分式不等式属于有理不等式，解决这类问题的基本方法是“零点分段法”，操作性很强。一元一次不等式和一元二次不等式也可以用这种方法求解，解题思路是运用实数运算的符号法则，基本途径是分解因式。
例12. 解不等式（x2-4x+3）（x2+6x+8）（x+2）（3x2+2x+5）＞0.
解：先分解因式：（x+2）2（x+4）（x-1）（x-3）（3x2+2x+5）＞0.
由于对任意实数x，二次因式3x2+2x+5中，⊿=42-4×3×5＜0，3x2+2x+5＞0恒成
立，故原不等式等价于以下的标准式：（x+2）2 （x+4）（x-1）（x-3）＞0
画数轴，标出根和符号，得：
所以 x∈（-4，-2）∪（-2，1）∪（3，+∞）
这是典型的高次不等式，解答中首先将其化为标准式，其特点是：左端为一次因式的连乘积或商，且一次项系数为1，右端为0，可以简记为“110”；然后在数轴上标出零点，即
《不等式取值范围思路》
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