篇一：高中数学导数知识点归纳总结
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考试内容：
导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．
14. 导 数 知识要点
1. 导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数y?f(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量?x，则函数值y也引起相应的增量?y?f(x0??x)?f(x0)；比值
?y?xlim
?x?0
?
f(x0??x)?f(x0)
?x
?y?x
?lim
?x?0
称为函数
y?f(x)
在点x0到x0
??x
之间的平均变化率；如果极限
f(x0??x)?f(x0)
?x
存在，则称函数y
?f(x)
在点x0处可导，并把这个极限叫做
y?f(x)在x0
处的导数，记作
f(x0)
'
或y'
|x?x
，即
f(x0)
'
=
lim
?x?0
?y?x
?lim
?x?0
f(x0??x)?f(x0)
?x
.
注：①?x是增量，我们也称为“改变量”，因为?x可正，可负，但不为零. ②以知函数y
?f(x)
定义域为A，y
?f(x)
'
的定义域为B，则A与B关系为A
?B
.
2. 函数y?f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：
⑴函数y?f(x)在点x0处连续是y?f(x)在点x0处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果y?f(x)在点x0处可导，那么y?f(x)点x0处连续. 事实上，令x?x0??x，则x?x0相当于?x?0. 于是
lim
x?x0
f(x)?lim
?x?0
f(x0??x)?lim[f(x?x0)?f(x0)?f(x0)]
?x?0
f(x0)?f(x0)?0?f(x0)?f(x0).
'
?lim[
?x?0
f(x0??x)?f(x0)
?x
?f(x)点x0
??x?f(x0)]?lim
f(x0??x)?f(x0)
?x
?lim?lim
?x?0
?x?0
?x?0
⑵如果y例：
?y?x
处连续，那么y
?f(x)
在点x0处可导，是不成立的.
?0
f(x)?|x|在点x0?0处连续，但在点x0
??1
处不可导，因为
?y?x
?
|?x|?x
，当?x＞0时，
?1；当?x＜0时，
?y?x
，故
lim
?x?0
?y?x
不存在.
注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义：
函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y也就是说，曲线
'
?f(x)
在点(x0,
f(x))
'
处的切线的斜率，，切线方程为
y?f(x)
在点P
(x0,f(x))
处的切线的斜率是
f(x0)
y?y0?f(x)(x?x0).
4. 求导数的四则运算法则：
(u?v)?u?v?y?f1(x)?f2(x)?...?fn(x)?y?f1(x)?f2(x)?...?fn(x)
'
'
'
'
'
'
'
'
'
''''
(uv)?vu?vu?(cv)?cv?cv
'
'
'
?cv（c为常数）
'
?u???v??
?
vu?vuv
2
(v?0)
注：①u,v必须是可导函数.
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设
f(x)?2sinx?
2x
，g(x)?
cosx?
2x
，则
f(x),g(x)
在x
?0
处均不可导，但它们和
f(x)?g(x)?sinx?cosx
?0
在x处均可导.
fx(?(x))?f(u)?(x)
'
'
'
5. 复合函数的求导法则：或y'x
?y
'
u
?u
'
x
复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.
6. 函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数y增函数；如果
f(x)
'
?f(x)
在某个区间内可导，如果
f(x)
'
＞0，则y
?f(x)
为
＜0，则y
?f(x)
为减函数.
⑵常数的判定方法； 如果函数y注：①都有
?f(x)
在区间I内恒有
f(x)
'
=0，则y
?f(x)
为常数.
?2x
3
f(x)?0
是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y
f(x)?0
在(??,??)上并不是
f(x)?0
，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样是f（x）递减的充分非必
要条件.
②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值，极小值同理）
当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧②如果在x0附近的左侧
f(x)
'
＞0，右侧＜0，右侧
f(x)
'
＜0，那么＞0，那么
f(x0)是极大值； f(x0)是极小值.
'
f(x)
'
f(x)
'
也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是
②
f(x)
=0. 此外，函数不
①
可导的点也可能是函数的极值点. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）. 注①： 若点x0是可导函数
f(x)
的极值点，则
f(x)
'
=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函
数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数y
?f(x)?x
3
，x
?0
使
f(x)
'
=0，但x
?0
不是极值点.
?0
②例如：函数y?f(x)?|x|，在点x?0处不可导，但点x是函数的极小值点.
8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.
注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数： I.C'
?0
（C为常数） (sinx)?cosx
'
(arcsinx)?
'
1?x
2
(x)?nx
n'n?1
（n?R）(cosx)??sinx (arccos
'
x)??
'
1?x
2
II.
(lnx)?
'
1x
(log
a
x)?
'
1x
log
a
e(arctan
x)?
x
'
1
2
?1
(e
x
)
'
?e
x
(a)?a
x'x
lna (arccotx)??
'
1x
2
?1
III. 求导的常见方法： ①常用结论：(ln②形如y
|x|)?
'
1x
.
或y
?
(x?a1)(x?a2)...(x?an)(x?b1)(x?b2)...(x?bn)
?(x?a1)(x?a2)...(x?an)
两边同取自然对数，可转化
求代数和形式. ③无理函数或形如y
yy
'
?x
x
这类函数，如y
'
?x
x
取自然对数之后可变形为ln
'
x
x
y?xlnx
，对两边
求导可得
?lnx?x?
1x
?y?ylnx?y?y?xlnx?x.
篇二：导数知识点总结
导 数 知识要点
1. 导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数y?
f(x)定义域的一点，如果自变
量x在x0处有增量?x，则函数值y也引起相应的增量?y?
?y?x
?
f(x0??x)?f(x0)
?x
?y?x
?lim
?x?0
f(x0??x)?f(x0)；比值
称为函数y?
f(x)在点x0到x0??x之间的平均变化率；如果极
f(x)在点x0
f(x0)
'
限
lim
?x?0
f(x0??x)?f(x0)
?x
存在，则称函数y?处可导，并把这个或
y|x?x
'
极限叫做
f(x0)
'
y?f(x)
在
x0
处的导数，记作
.
，即
=
lim
?x?0
?y?x
?lim
?x?0
f(x0??x)?f(x0)
?x
注：①?x是增量，我们也称为“改变量”，因为?x可正，可负，但不为零. ②已知函数y?2. 函数y?⑴函数y?
f(x)定义域为A
，y?
f(x)
'
的定义域为B，则A与B关系为A?
B
.
f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：
f(x)在点x0
f(x)在点x0
处连续是y?处可导的必要不充分条件.
f(x)点x0
可以证明，如果y?事实上，令x?
f(x)在点x0
处可导，那么y?
.
处连续.
x0??x
，则x?
x0相当于?x?0
1
于是
x?x0
limf(x)?limf(x0??x)?lim[f(x?x0)?f(x0)?f(x0)]
?x?0
?x?0
?lim[
?x?0
f(x0??x)?f(x0)
?x
??x?f(x0)]?lim
f(x0??x)?f(x0)
?x
?lim?lim
?x?0
?x?0
?x?0
f(x0)?f(x0)?0?f(x0)?f(x0).
'
⑵如果y?
f(x)点x0
处连续，那么y?
?0
f(x)在点x0
?0
处可导，是不成立的.
?x
?|?x|?x
例：f(x)?|x|在点x00时，?y
?x
?1；当?x
处连续，但在点x0
?x
处不可导，因为?y不存在.
，当?x＞
＜0时，?y
??1，故lim
?x?0
?y?x
注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义： 函数y?
f(x)在点x0
处的导数的几何意义就是曲线y?
f(x)在点
f(x)在点(x0,f(x))
处的切线
的斜率，也就是说，曲线y?方程为y?y0
?f(x)(x?x0).
'
P(x0,
f(x))
处的切线的斜率是f'(x0)，切线
4、几种常见的函数导数：
C?0
'
n'n?1
（C为常数） (x)?nx（n?R）
''x)?cosx (coxs)??sinx (sin
'
(lnx)?
x
'
1x
x
(loagx)?
'
1x
logae
(e)?e
x'x
(a)?alna
5. 求导数的四则运算法则：
(u?v)?u?v?y?f1(x)?f2(x)?...?fn(x)?y?f1(x)?f2(x)?...?fn(x)
'
'
'
''''
(uv)?vu?vu?(cv)?cv?cv?cv
?u????v?
'
'''''''
（c为常数）
?
vu
'
?vuv
2
'
(v?0)
注：①u,v必须是可导函数.
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设和
f(x)?2sinx?
2x
，g(x)?cos
x?
2x
，则f(x),g(x)在x?0处均不可导，但它们
f(x)?g(x)?sinx?cosx
在x?0处均可导.
2
6. 复合函数的求导法则：
fx(?(x))?f(u)?(x)
'''
或y'x
?y
'
u
?u
'
x
复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 7. 函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数y?
y?f(x)为增函数；如果f(x)
'
f(x)在某个区间内可导，如果f(x)
'＞0，则
＜0，则y?f(x)为减函数.
⑵常数的判定方法； 如果函数y?
f(x)在区间I
内恒有
f(x)
'
=0，则y?f(x)为常数.
注：①f(x)?0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y?2x3在(??,??)上并不是都有
f(x)?0
，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样f(x)?0是f（x）
递减的充分非必要条件. ②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 8. 极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜函数
f(x)的极大值，极小值同理） f(x)在点x0
f(x0)，则f(x0)是
当函数处连续时，
f(x)
''
①如果在x0附近的左侧②如果在x0附近的左侧
＞0，右侧＜0，右侧
f(x)
'
'
＜0，那么＞0，那么
f(x0)是极大值； f(x0)是极小值.
f(x)f(x)
也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f'(x)=0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.
②
注①： 若点x0是可导函数
f(x)的极值点，则f(x)
'=0. 但反过来不一定成立. 对
于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数y?
f(x)?x
3
，x?0使
f(x)
'
=0，但x?0不是极值点.
是函数的极小值点.
②例如：函数y?f(x)?|x|，在点x?0处不可导，但点x?0
9. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.
注：函数的极值点一定有意义.
3
导数练习
一、选择题
1．设函数f(x)在R上可导,其导函数f?(x),且函数f(x)在x??2处取得极小值,
则函数y?xf?(x)的图象可能是
2．设a>0,b>0,e是自然对数的底数
ab
A．若e+2a=e+3b,则a>b B．若ea+2a=eb+3b,则a<b
ab
C．若e-2a=e-3b,则a>b D．若ea-2a=eb-3b,则a<b 3．设函数f(x)=
A．x=
12
2x
（ ）
+lnx 则
B． x=
12
（ ）
为f(x)的极小值点
为f(x)的极大值点
1x
C．x=2为 f(x)的极大值点 4．设函数
f(x)?
D．x=2为 f(x)的极小值点
.若
y?f(x)
,g(x)??x2
?bx
的图象与y?g(x)的图象有且仅有两
（ ）
个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是 A．x1?x2C．x1?x2
5．函数y=
12
?0,y1?y2?0 ?0,y1?y2?0
B．x1?x2D．x1?x2
?0,y1?y2?0 ?0,y1?y2?0
（ ）
x2?㏑x的单调递减区间为
B．(0,1]
C．[1,+∞)
A．(?1,1]
D．(0,+∞)
6．已知f(x)?x3?6x2?9x?abc,a?b?c,且f(a)?f(b)?f(c)?0.现给出如下
结论:①f(0)f(1)?0;②f(0)f(1)?0;③f(0)f(3)?0;④f(0)f(3)?0. 其中正确结论的序号是
4
（ ）
A．①③ 7．已知函数f(x)?
B．①④
1ln(x?1)?x
C．②③ D．②④
;则y?f(x)的图像大致为
8．设a>0,b>0.
A．若2C．若2
a
（ ）
b
?2a?2?3b?2a?2?3b
b
,则a>b ,则a>b
B．若2D．若2
a
?2a?2?3b?2a?2?3b
b
b
,则a<b ,则a<b
aa
9．设函数f(x)在R上可导,其导函数为f?(x),且函数y?(1?x)f?(x)
的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是 A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(?2)D．函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(2) 10．设函数f(x)?xex,则
A．x?1为f(x)的极大值点 C．x??1为f(x)的极大值点
B．x?1为f(x)的极小值点 D．x??1为f(x)的极小值点
（ ） （ ）
11．设a?0且a?1,则“函数f(x)?ax在R上是减函数 ”,是“函数
5
篇三：高中数学导数知识点归纳
高中数学选修2----2知识点
第一章 导数及其应用
一．导数概念的引入
1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数y?f(x)在x?x0处的瞬时变化率是
?x?0
lim
f(x0??x)?f(x0)
，
?x
我们称它为函数y?f(x)在x?x0处的导数，记作f?(x0)或y?|x?x0， 即f?(x0)=lim
?x?0
f(x0??x)?f(x0)
?x
2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点Pn趋近于P时，直线PT与曲线相切。容易
知道，割线PPn的斜率是kn?
f(xn)?f(x0)
，当点Pn趋近于P时，函数y?f(x)在x?x0处的导
xn?x0
f(xn)?f(x0)
?f?(x0)
xn?x0
数就是切线PT的斜率k，即k?lim
?x?0
3. 导函数：当x变化时，f?(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数. y?f(x)的导函数有
时也记作y?,即f?(x)?lim
?x?0
f(x??x)?f(x)
?x
二.导数的计算
1）基本初等函数的导数公式: 2 若f(x)?x,则f?(x)??x
?
??1
;
3 若f(x)?sinx,则f?(x)?cosx 4 若f(x)?cosx,则f?(x)??sinx; 5 若f(x)?a,则f?(x)?alna 6 若f(x)?e,则f?(x)?e
x
x
xx
1 xlna1
8 若f(x)?lnx,则f?(x)?
x
x
7 若f(x)?loga,则f?(x)?
2）导数的运算法则
2. [f(x)?g(x)]??f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x)
3. [
f(x)f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x)
]??
g(x)[g(x)]2
3）复合函数求导
y?f(u)和u?g(x),称则y可以表示成为x的函数,即y?f(g(x))为一个复合函数 y??f?(g(x))?g?(x)
三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下＇关系：
在某个区间(a,b)内，如果f?(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间单调递增； 如果f?(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间单调递减.
2.函数的极值（局部概念）与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数y?f(x)的极值的方法是:
(1) 如果在x0附近的左侧f?(x)?0,右侧f?(x)?0,那么f(x0)是极大值; (2) 如果在x0附近的左侧f?(x)?0,右侧f?(x)?0,那么f(x0)是极小值;
(3) 若f＇（x）=0，则在该点函数不增不减，可能为极值，也可能就为一过渡点。 4.函数的最大(小)值与导数
函数极大值与最大值之间的关系.
求函数y?f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数y?f(x)在(a,b)内的极值；
（2） 将函数y?f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是一个最大值，最
小的是最小值.
可导奇函数的导函数的是偶函数 可导偶函数的导函数的是奇函数
III. 求导的常见方法：
① 常用结论：(ln|x|)'?
1. x
②形如y?(x?a1)(x?a2)...(x?an)或y?形式.
(x?a1)(x?a2)...(x?an)
两边同取自然对数，可转化求代数和
(x?b1)(x?b2)...(x?bn)
③无理函数或形如y?xx这类函数，如y?xx取自然对数之后可变形为lny?xlnx，对两边求导可得
y'1
?lnx?x??y'?ylnx?y?y'?xxlnx?xx. yx
导数中的切线问题
1：已知切点，求曲线的切线方程 2：已知斜率，求曲线的切线方程 3：已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 4：已知过曲线外一点，求切线方程
1. 函数f(x)的定义域为开区间(?
y?
f?(x)
3
,3)，导函数f?(x)在2
3
(?,3)内的图象如图所示，则函数f(x)的单调增区间是2
_____________
2. 如图为函数f(x)?ax3?bx2?cx?d的图象，f'(x)为函数f(x)的导
函数，则不等式x?f'(x)?0的解集为______
3. 若函数f(x)?x?bx?c的图象的顶点在第四象限，则其导函数
2
f'(x)的图象是（ ）
4. 函数y?f(x)的图象过原点且它的导函数f'(x)的图象是如图所示的一条直
线，则y?f(x)图象的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
y?f?(x)
5. 定义在R上的函数f(x)满足f(4)?1．f?(x)为f(x)的导函
已知函数y?f?(x)的图象如右图所示.若两正数a,b满足
数，
A．(,) B．(??,)??3,??? C．(,3)
3222
D．(??,?3)
5.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是（ ）
6. 函数f(x)?lnx?
12
x的图象大致是 （ ） 2
A． C． D．
7. 设f'(x)是函数f(x)的导函数，将y?f(x)和y?f'(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不可能
正确的是（ ）
A． B． C． D．
8. 如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h
随时间t变化的可能图象是（ ）
正视图侧视图
俯视图
《高中导数知识点总结》
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