折纸与数学

时间：2017-03-16 07:31:23 来源：免费论文网

篇一：数学活动折纸与证明

数学活动折纸与证明

【学习重、难点】

重点：经历操作、证明的过程，探究解决折纸问题的方法并会解决折纸问题难点：探究解决折纸问题的思路

学习过程：活动一：

(1) 用一张长方形纸片折正方形，并探究操作的合理性。

(2) 用一张长方形纸片折等腰三角形，并探究操作的合理性。

B C E

活动二：（1）用一张正方形纸片折矩形。

（2）用一张正方形纸片折等腰三角形，并探究操作的合理性。

（3）用一张正方形纸片折等边三角形，并探究操作的合理性。

ENF

活动三：

(1)用一张等边三角形纸片折菱形，并探究操作的合理性。 (2)用一张等腰三角形纸片折菱形，并探究操作的合理性。

)观察与发现：小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．再分别沿DE、DF折叠展平纸片后得四边形AEDF（如图③）。试判断四边形AEDF是什么四边形？，并证明你的结论。

A A A

D C D C 图① 图②

活动四：

用两张长方形纸条纸片拼菱形，并探究操作的合理性。活动四：

用一张长方形纸片折正五边形，并探究操作的合理性。

折叠问题方法归纳：

图③

1、如图，将△ABC中，AB＞AC，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE沿线段DE翻折，使点A落在边上，记作A′.则下列说法正确的是( ) (A) DE垂直平分线段A A′(B) AD=AE

2、将一矩形纸片按如图方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后A?B与E?B与在同一条直线上，则∠CBD的度数（）

A. 大于90° B.等于90° C. 小于90° D.不能确定

E A B

5、如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：①EF∥AB且EF?②?BAF??CAF；

AB；2

第5题图

③S四边形ADFE?AF?DE；

④?BDF??FEC?2?BAC，正确的个数是（）（A）

A．1

B．2

C．3

春蕾杯教学反思

———5.4折纸与证明

今年的春蕾杯的课题是九年级的一节活动课《折纸与证明》，这节课极具挑战性，对于活动课该怎么上，作为年轻老师的我是一头雾水，没有一点头绪。这样的课题让我感觉到很有压力，不过正是因为有压力，人才会有动力，象我们这样的年轻教师，正需要这样的磨练机会，促使我们的成长，所以首先感谢学校给我们创造了这么好的平台，在这次活动中我学到了很多，知道了自己在讲课中还存在很多的不足。我对这节课的总结如下：

这节课的教学目标是这样的：1、经历操作、证明的过程，进一步激发对数学证明的兴趣，感受证明的必要性，感受合情推理和演绎推理相辅相成的关系；2、进一步发展合乎逻辑的思考和有条理表达的能力；3、经历克服困难和取得成功的过程，增进应用数

学的能力。这节课我准备了四个活动：活动一在长方形上折正方形，折等腰三角形，折等边三角形；活动二在正方形上折等腰三角形，折等边三角形；活动三在三角形上折菱形。从这4个活动中让学生感受折纸当中体现的数学证明思想。这节课改变了学生的学习方式，变传统的接受学习为主动探究的学习，也让学生在探究中体验折纸中的数学证明，但从备课到一节课上下来，我的思绪都不是太清楚，对本节课的重点把握的不是很到位，上课的时候语言表述的也不是很清楚。在评课的过程当中，我发现自己有很多的不足，在以后的教学过程中，对教材的研究要更加细致到位，多从学生的角度考虑他们的认知水平，并要有一定的提升。

总的来说，我觉得这节课设计还算完整，有让人满意的地方，也有很多的不足。最大的问题就是自己讲的过多，留给学生思考和回答问题的余地太少，这样不利于学生的掌握，特别是一些差生，反应比较慢的学生有点接受不了。还有就是板书太少以及板书的不规范，这些都是以后的教学过程我所要注意的问题。只有发现了问题，才会有改进的机会，才会有进步。

王丹娟

2010-12-10

篇二：浅谈折纸数学活动课

浅谈折纸数学活动课

内容摘要：数学源于生活，生活中处处有数学，教师要善于挖掘“生活”的源泉，引来“数学”的活水，从现实生活中捕捉有利于学生探究性学习的素材。在初中数学教学过程中，几何部分有许多探究性问题以折纸为载体，利用数学知识指导实践操作，让学生经历合乎逻辑的思考和有条理的说理过程，更好地感受数学活动的价值。这样的数学活动情境，其目标是帮助学生积累数学活动的经验，培养学生应用意识和创新意识[1]。学生借助于所学知识和生活经验，独立思考，发现问题和提出问题、分析和解决问题，感知数学活动课的趣味性，激发学生学习数学的兴趣，加深对所学知识的理解。

关键词：数学活动折纸探究合作热点考题开放题型

引言：初中数学活动课------折纸的某些教学应用价值尚未被广大师生所开发，折纸的数学教学功能尚未被广大师生所重视。其原因大致可能有：教学课时紧，折纸比较费时间；广大师生没有这方面的认知和经验，所以得不到广泛推广；还有就是学生觉得研究折纸问题太过复杂，时代性不强，展示效果不如计算机优越。将折纸应用于数学教学还面临诸多方面的挑战和阻力，现有的教学活动也都处于摸索和尝试之中，例如上海市青浦教育进修学院的宋伟倩、孙志远老师和华东师范大学数学系的黄荣金老师以“如何在实验操作中让学生体验数学发现的过程，感悟数学思想方法和本质” [1]作为研究的主题在课堂上讨论了“用纸片折几何图形”的课题。学生们通过折纸活动和小组交流探索发现很多不同的折法。在初中阶段，折纸运用于数学教学的形式大体上有：1、课堂上的专题讨论。2、课堂上将折纸作为辅助教学工具演示几何形态。3、提供课后学生思考的操作题。

4、出现在探索、开放性试题中。特别是近几年的中考，成为热点考题，例如安徽省２０１３年中考数学的填空题第14题，如果教师在课堂上开展这样数学活动课，学生具备分析处理问题的能力，他们在接触这类问题时，不会束手无策。所以作为一线的教师，有必要上好数学折纸活动课。下面就从我的一堂数学折纸活动课，粗浅地谈谈对折纸活动课的认识。

本文以人教版义务教育课程标准试验教材，八年级数学下册第十九章《四边形》章节数学活动课为例，谈谈对初中阶段数学折纸教学的认识。

数学活动：利用矩形纸条折出60o，30o，15o角。

活动开始时，教师首先提出问题：如果我们身边没有量角器或三角尺，又需做60o，30o，15o等大小的角，如何用一个长方形纸条折出一个60o，30o，15o角？并对折出的角，试说明为什么是60o，30o，15o角？理由是什么？学生即用事先准备好矩形纸条，分组活动交流合作，完成实践操作。这里需要思考如何从矩形纸条的直角里分出60o角或者30o角？尽量让他们想出可行的方案。

活动进行时，学生在独立的尝试折纸过程中，感受许多错综复杂的数学思想。大致梳理有以下的一些情况：①有的小组学生就简单将直角分三个角重叠，但这样做显然不合理，究其原因：理论上把角三90o等份，就是30o，但是折叠操作难度大，且有很大的局限性。②有的小组学生比较灵活，善于从已有的知识出发思考问题。想在矩形中折出一个直角三角形，其中的一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角就是30o，但操作也很难实现，原因没有直尺直接测量直角边等于斜边的一半，所以这种思想方法就这样放弃了。③在其中的好几组学生，思想方法独特，他们能够将矩形纸张如图一对折，

折痕为EF，展开后，再一次将矩形顶点A延BM折

叠，使得A落在EF上N点处，那么这时的

?ABM??NBM，这些学生可能事先已经对该活动（图一）

已经预习，不管怎么样，这样的学习态度值得表扬。

活动过程中，教师再次提出问题：这里的

?ABM??NBM，其角的大小为多少，你能算出来

吗？让全体学生顺着③的学生折纸方法，在这里探

究?ABM??NBM度数大小值。经过研究之后，

（图二）

大部分学生给出了简单的说理，单从说理的过程来看，整理了从繁到简的过程。其中的一位学生给出了如图（图二）证明,设其BM与EF交与P点，过M点作MH?EF，垂足为H，因为?ABM与?NBM关于BM对称，所以?ABM??NBM，?2??3，因为AD//EF，所以?1??3，所以?2??1,MN?NP,又因为BE?MH，所以?BEP??MHP，所以BP?PM，这

样说明了NP为Rt?BMN的中线，所以NP?PM，所以?MNP

?2??3?60o，?ABM??MBN?30o，?ABN?60o。为等边三角形，

也有学生提供更为简洁的证明方法，如图（图三），直接连接AN，因为?ABM与?NBM关于BM对称，所以

?ABM??NBM，所以AB?BN，又因为EF是线

段AB的垂直平分线，N为线段垂直平分线上的一

点，所以AN?BN，即?ABN为等边三角形，所以?ABM??MBN=30o 。

说理到这里，学生的思路被打开，思维活跃的学生提出了这样的证明，而且能使得整个证明的过程简化，证明过程简述为：如图（图四）所示，首先是过N点作NQ?BC，所以NQ=BE=

AB=BN，所以ＮＱ＝1AB，又因为2（图六）（图三）1ＢＮ，在Rt?BNQ中，ＮＱ＝2

1ＢＮ，所以?NBQ＝300，证明过程简洁，也能培2（图四）

养学生的动脑思维能力

教师提出问题：上述的折法中，都是从矩形的直角中折出60、30角，那么我们现在能不能在矩形的边（长或宽）中折出600、30o角？

受到刚刚学生折纸操作，推理解答问题的启发，有学生提出了这样方案，他将这个矩形纸条按照如图（图五）所示折叠，第一次将矩形纸条对折，形成虚线GH，第二次再对折，形成虚线EF,IJ ,第三次将B点沿过G点的直线对折，使得

?KGH=30o。Ｂ落在EF的K点处，这时形成?AGK=600，(图五）

0o进一步学生给出推理过程，如下所示连接AK，因为BG=AG=GK，AE=EG，EK?AG，所以AK=GK，所以?AGK为等边三角形，所以?AGK=60o，

?KGM=?BGM=60o，所以?BMG=?MGH=30o。

也有学生另辟蹊径，利用轴对称及其相关知识，也从

直角中折出了600、30o，还能直接折出15o角。如图（图

六）所示，具体做法步骤是：第一步将矩形的边AB沿

BG折叠使得AB落在BC上，A与H重合，第二步沿折（图六）

痕上的G点和H点折出折痕GH,这时四边形ABHG是一个正方形，第三步是将这个正方形ABHG沿EF对折，使得AB与GH重合，第四步将BH沿过B点的直线BL折叠使得H点落在EF上的I点处，得到的?BHI为正三角形，所以这时折出的角 ?ABK=30o, ?KBC=60o ?KBG=15o。进一步学生给出推理的过程，这里就不在赘述。这种折纸做法类似于折纸几何学中阐述的在在正方形中折出正多边形中的正三角形。

当然在教学过程中，在这里教师可以适当的延伸两等分角易折叠，那么三等分角呢? 我们知道三等分任意角是数学史上的一个著

名问题，数学家已经证明用尺规不可能“三等分任意角”，

但却可以借助折纸任意三等分角。如图在长方形纸条先

折出正方形ABCD，?PBC为直角中的任意一个角，将

正方形ABCD对折，折痕EF，再将矩形BCFE对折，折痕为GH，再将B点沿TX翻折使得B点落在B’点，G点落在G’点，所以BG是?PBC的三等分线[3]。这里给有兴趣研究这个问题的学生，提供一个探索的空间。

这节折纸数学活动课意在面向全体学生，通过活动课意在引发了学生的求知欲,激活了学生的思维,渗透了数学思想方法,有效地实现了数学活动课的价值所在。

结束语: 折纸不仅可以作为几何教学的辅助工具，而且还能帮助学生形象地认识到较为抽象的空间图形，折纸教学是一种探究创新数学教学的载体。折纸过程中所体现出来的诸多几何的概念，能够弥补学生思维过程中断缺的部分，符合学生认知的习惯。

我们现行的教学方式难以给学生创造出动手实验、直觉判断、合情推理这样的认知过程，也不能给学生根据自己的能力得到不同层次结论的机会。相比之下，折纸的活动能有助于激励每一个学生参与到力所能及的探索中，它能提供学生仔细观察，广泛联想，多方向、多角度思考问题的机会，因此它是发展学生高层次思维品质的最有效、最廉价的材料。在折纸过程中去体验数学研究中的一些方法，其研究趣味浓、探索性强，学生能通过观察、尝试、猜测、转移、类推、特殊化等途径去认识到其中的数学原理，同时学生也能培养求解问题的多元化数学观。

其次，折纸符合《新课标》倡导“自由、合作、探究”的学习方式,作为新课程四大学习领域之一“空间与图形”，主要表现的内容是：能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状，进行几何体与三视图、展开图之间的转化，能根据条件做出立体模型或画出图形。其中再次强调了学生动手操作在数学几何教学中的重要作用。数学教学活动必须激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生思考；要注重培养学生良好的学习习惯,掌握有效的学习方法。学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是数学学习的重要方式，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程。教师教学活动应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教，为学生提供充分的数学活动的机会[2]。折纸活动让学生动手实践就是遵循了这一基本出发点，使他们在获得知识的同时，在动手能力、思维开发等方面都有更大的进步。

另外，用折纸的方法来探索数学结论这种教学方法具有普适性。折纸就其本身而言，取材方便，只需要我们日常生活中最常见的纸，不受时间，场合的限制。而且它的操作过程简明易懂，一般学生都能接受，不论是学习能力好的或是学习欠缺的同学都能参与进行。它是一种大众的教育而非英才教育，这与当前倡导的“人人学习有用的数学；人人学习想学的数学”是一致的。

总之，折纸数学活动课有许多的优势，，折纸活动课要求关注每一个个体的差异，关注学生的求知过程、探究问题的过程、合作创新的过程，让学生在自我的活动过程中体验数学学习的成就感，实现知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的协调发展。

参考文献：

[1] 史宁中，马云鹏王尚志初中数学《教师学习指导》[M] 义务教育课程标准（2011年版）

[2] 宋伟倩，黄荣金：在折纸活动中“想”数学和“说”数学，《数学教学》

[J]2004年第5期，封二-4

[3] 吴震奎折纸的数学问题《中等数学》[J] 1991年第三期第17~18页

篇三：折纸与数学

折纸与数学

内容摘要：基础教育课程改革强调形成积极主动的学习态度；关注学生的学习兴趣和经验；倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力??。基于此，在七年级的新课改的教科书逐步增加了观察、探究、思考等内容，并把折纸作为数学学习的一种方法纳入到数学教学、学生探究中。回顾折纸的过程，我们不难发现：折纸的运用很广泛，它其中包括很多的数学原理，折纸让数学变得直观形象，而数学又为折纸提供了理论依据，数学与折纸密不可分。

俄国生理学家巴甫洛夫说：“方法能够推动科学??科学是依赖于方法的进步程度为推动而前进的，这句话并不假。方法每前进一步，犹如我们每上升一阶一样，它会为我们展开更广阔的视野，因而看到前所未见的对象。正因为如此，所以拟定方法是我们首要的任务”。

科学研究如此，学生的学习也是如此。要让学生真正成为学习与发展的主体，教师要指导学生从被动接受的学习方法转变为自主、合作、探究的学习方式，也就是掌握科学的学习方法。基础教育课程改革强调形成积极主动的学习态度；关注学生的学习兴趣和经验；倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力??。

基于此，新的教科书逐步增加了观察、探究、思考等内容，并把折纸作为数学学习的一种方法纳入到数学教学、学生探究中。而折纸这种让学生既动手又动脑、让学生亲身经历积极参与问题的思考和分析的过程作为一种方法提了出来。

以七年级教科书第一章内容为例，你会发现很多内容都用到了折纸法，立体图形的平面展开图，两条线段的比较大小，找已知线段的中点、做已知角的平分线、过一点（点的位置又分为在直线上或在直线外两种）做已知直线的垂线等都可以通过折纸的方法直观表现出来。有些数学家甚至建议，折纸可作为一种新颖有趣的集合教学法。对于喜欢动手的学生来说，学习会事半功倍。

通常的折纸从正方形折起，一个正方形变形为一个盒子；一个正方形变形为一只鸟；一个正方形变形为一座宝塔；一个正方形变形为一个花篮??。在创作折纸图形时，折纸能手

是由一张正方形的纸开始的，然后运用他们的想象、技巧和决心，变形为任意的形状。一个正方形之所以可以选为折纸的初始单元，现在分析起来是因为与矩形和其它四边形相比，它有四条对称轴；而虽然圆和有些正多边形有更多的对称轴，但它们又缺少正方形所拥有的直角，这就使制作上造成了较大的困难。折纸的对象被创造出来后，留在正方形纸张上的折痕，揭示出大量几何的对象和性质。在正方形纸张上的折痕表现出以下的数学概念：相似、轴对称、中心对称、全等、相似比、比例、以及类似于几何分形结构的迭代（在图案内不断地重复图案）。心灵手巧, 数学寓于折纸之中，不管折纸人的身份如何，对数学的了解总然会在折纸中增加人们的能力和创造力。

1、折纸的巧妙运用，让学生另辟蹊径，体验到了数学学习的乐趣。

作为一名教师，我对折纸的认识颇有感触。记得教学中我曾遇到过此题的教学: 点M.N为矩形ABCD一组对边的中点,将矩形的一角向内折叠,使点B落在直线MN上,得到落点Bˊ和折痕AE,并延长EBˊ交AD于点F,猜想,ΔAEF是什么三角形?并证明你的结论.

看到此题后，大部分学生显得很茫然，眼睛紧盯着老师，只有前排的一个学生悄无声息拿出一张纸慢慢随着题意叠起来，逐渐地同学也开始跟着模仿。通过学生亲手折叠，我们很容易发现，点B

和点Bˊ关于直线AE轴对称，若连接ABˊ，则ABˊ垂直平分EF，Δ

AEF为等腰三角形，再加上∠BAE＝∠EABˊ，所以ΔAEF为等边三角形。

这节课的学习对我今后的教学触动很大。试想：折纸的这些特点和规律如果用在今天的数学教学中，肯定对我们有很大的帮助，因为它直观地反映了图形之间的关系以及变化的规律，学生可以不借助任何现代技术，仅仅通过通过观察、分析自己手中的一张纸反复折叠、旋转就可以很容易地发现事物的规律，从而有效调动学生的积极性，自觉成为学习的主人。荷兰数学教育家汉斯、弗赖登塔尔也曾说过：“数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，教学过程应该是帮助学生把现实转化成数学问题的过程”。随着课程改革的进一步实施，《数学课程标准》中也明确指出：“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将现实问题抽象成数学模型并解释与应用的过程，进而使学生获得对数学的理解??。”折纸正是满足了这种要求，为学生提供了真实的问题情景，通过学生的亲身经历，很容易找到问题

的解决方法。

2、折纸在数学中的运用，使得学生的数学学习更加直观生动。仅以初中数学为例，初中数学的图形教学主要以平面图形为主,辅以部分立体图形，而平面图形当中，又是以三角形,四边形,圆为主线逐步展开的。其中一些定理的证明就可用到折纸法，最明显的例子就是三角形内角和等于180度的证明，虽然方法不同，但如何把不同位置的三角形的三个内角组合在一起就成了本定理证明的重点，其中选择最多的方法是平移法；首先做平行线，利用平行线的性质：同位角相等或内错角相等，使得三个内角恰好构成了一个平角来证明。但如果利用折叠法的话，把三角形的三个内角沿某条线对折起来,很直观地构成一个平角,也能说明三角形的内角和为180度,而且这种方法既简单又通俗,学生还特别容易理解。而对于轴对称和中心对称图形来说,折纸的优势更是显而易见的（折叠前后两个图形会全等），另外还有一些辅助线的添加（例如，某些角平分线或中垂线中的一些辅助线的添加等），都为折纸法的应用创造了空间??，因此教师在教学中如果能很好地应用好折纸这种方法,许多内容的传授是简单易行的。而且这也体现了新课改的精神，把数学教学从热衷于无数的常规练习转到发展学生基础宽广的数学能力。教师不仅要教给学生一个结论，更重要的让学生学会自己去探究。要想使学生能够真正掌握数学知识并解决实际问题，教师就必须要引导学生去亲历知识发生、发展的过程，领会比教材本身更多的数学，逐步提高学生的学习能力。

再如2003年天津市一道中考试题：在ΔABC中，已知AB等于 2a，角A等于30度，CD是AB边的中线，若将ΔABC沿CD对折起来，折叠后两个小ΔACD与BCD重叠部分的面积恰好等于折叠前ΔABC的面积的四分之一，有如下结论：

（1）AC边的长可以是a；

（2）折叠前的ΔABC的面积可以等于 2

（3）折叠后，以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相等。其中，正确结论的个数是（）

（A）0个（B）1个（C）2个（D3个

此题常见有两种解法，答案为D。难度系数为0.18，属于难题。本题通过几何图形的折叠问题，考查了学生在基本图形的运动、变化过程中，通过观察、分析、比较、判断、推理

等思维活动，寻求几何基本元素及其关系的能力，同时也考查了分情况讨论的思想方法。此类习题每次在中考中都有所体现，还有加大的可能，小小的折纸提升了学生的思维方法。

3、折纸运用还在进一步延伸。折纸的应用远不限于此，人们还可以用一个纸（二维物体）来折一个形体（三维物体）或由扇形来折一个圆锥，把一个立体的图形转化为一个平面的图形来考虑，这个过程明显地反映出空间中维数的变动。例如此题：一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B,怎样爬行路线最短？如果要爬到顶点C呢？说出你的理由。

从A到B，学生很容易想到：两点之间，线段最短。而从A 到C,显然点A和点C不在一个平面上，那又如何找最短距

离呢？我们不妨把此正方形平面展开，则点A和点C也在

一个平面内，连接AC即为蚂蚁爬行的最短路线。

研究折纸的创作过程也极具启发性。这与新课程强调的体验性学习不谋而合，让学生在学习过程中不仅要用自己的脑子去想，而且要用眼睛看，用耳朵听，用嘴说话，用手操作，即用自己的身体去亲身经历，用自己的心灵去感悟学习，重视学生的直接经验，鼓励学生对教科书的自我解读，自我理解，尊重学生的个人感受和独特见解，进而促进学生的全面发展，这不仅是理解知识的需要，更是激发学生生命活力、促进学生成长的需要。实验证明，折纸用在今天的数学学习中的确能起到事半功倍的作用。折纸使得数学问题更加直观形象，同时数学又为折纸的内容提供了丰富的内涵，数学与折纸密不可分。

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