篇一：正多边形与圆
正多边形与圆
一、目标认知
学习目标：了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形．
重点：正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系．
难点与关键：正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系
二、知识要点透析
知识点一、正多边形的概念
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形).
知识点二、正多边形的重要元素
1. 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2. 正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3. 正多边形的有关计算
(1)正n边形每一个内角的度数是?
n?2??180?
n
360?；(2)正n边形每个中心角的度数是
(3)正n边形每个外角的度数是n360?
n； .
知识点三、正多边形的性质
1. 正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2. 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.
3. 正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n 边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
知识点四、正多边形的画法
1. 用量角器等分圆：由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆.
2. 用尺规等分圆：对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
题型分类精讲
题型一 正多边形与圆
【例1】（1）判断：
①正多边形的中心角等于它的每一个外角.( )
②若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形.( )
③各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )
（2）判断下列各种图形是否一定是正多边形（是打“√”，不是打“×”）。
（1）等边三角形（ ）（2）矩形（ ）（3）菱形（ ）
（4）正方形（ ） （5）各角相等的圆内接多边形（ ）
（6）各边相等的圆内接多边形（ ）（7）顺次连接正多边形各边中点所得的多边形（ ）
（8）既有内切圆又有外接圆，并且这两个圆是同心圆的多边形（ ）
【例2】以下有四种说法：①顺次连结对角线相等的四边形各边中点，则所得的四边形是菱形；②等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；③顶点在圆周上的角是圆周角；④边数相同的正多边形都全等，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D 4个
题型二 正多边形的计算
1、已知正多边形的边心距与边长的比是1：2，则此正多边形是( )
A．正三角形 B.正方形 C．正六边形 D.正十二边形
2、正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）
A. 互余B. 互补 C. 互余或互补 D. 不能确定
3、若一个正多边形的每一个外角都等于36°,那么这个正多边形的中心角为（）
A．36° B、 18° C．72° D．54°
4、正六边形螺帽的边长为a，那么扳手的开口b最小应是( )
133A.3aB.aC.a D. 2235、已知，正方形的边长为a,它的内切圆半径为r，外接圆半径为R，则r:R:a等于（ ）
A.1:2:2B. 1:2:2 C. 2:2:1 D. 2:2:1
6、正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为（ ）
A. 3
6 B. 3
4 C. 23
3 D. 3
3
7、若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别是S1,S2,S3,则下列关系成立的是（）
A. S1=S2=S3B. S1>S2>S3 C. S1<S2<S3 D. S2>S3>S1
8、将一个边长为a正方形硬纸片剪去四角，使它成为正n边形，那么正n边形的面积为_______
9、正n边形的中心角等于_____，正n边形的每一个内角等于________。正n边形的每一个外角等于________。正n边形内角和_______。
10、正n边形都是_______对称图形，正n边形共有_________条对称轴；正n边形满足什么条件时_____________，那又是中心对称图形，对称中心是__________。
11、正n边形的半径和边心距把正n边形分成_______个全等的直角三角形，每个直角三角形的边分别是指正n边形的________________________________
12、若正多边形的一个外角等于一个内角的，则它是正_________边形。
13、正六边形ABCDEF的边长是10cm，面积为S1，正六边形A′B′C′D′E′F′的边长是5cm，面积为S2，则S1：S2=______________。
14、一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形.
15、正八边形的中心角的度数为____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____.
16、边长为6cm的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm,面积是____cm.
217、面积等于63cm的正六边形的周长是____.
18、正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是____cm.
19、正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是____cm.
20、若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是________
21、正六边形的两条平行边间距离是
1,则边长是
________
22
、周长相等的正三角形、
正四边形、正六边形的面积
S3
、S
4、
S6
之间的大小关系是: ________
23、正三角形的边心距、半径和高的比是________
24、两个正六边形的边长分别是3和4，这两个正六边形的面积之比等于________
25、圆内接正方形的半径与边长的比值是________
26、圆内接正四边形的边长为4 cm，那么边心距是________
27、已知圆内接正方形的边长为6，则该圆的内接正六边形边长为__________．
28、圆内接正六边形的边长是8 cm那么该正六边形的半径为______；边心距为________．
29、同一个圆的内接正方形和外切正方形的边长之比为_________________.
30、已知正方形面积为8cm2，求此正方形边心距．_________________
31、如果一个正多边形的一个内角是135°，则这个多边形是__________边形
32、一个正多边形绕它的中心旋转60°和原来的图形重合，那么这个正多边形是________
33、有一边长为4的正n边形，它的一个内角是120°，则其外接圆的半径为_________
34、 正六边形一组对边间的距离为6，那么这个正六边形的半径是__________
35、同圆中，内接正三角形，正方形，正五边形，正六边形中周长最大的是__________
36、正九边形的半径为R，则它的边长是_____
37、一个正n边形的中心角是它的一个内角的1/5，则n=_________.
38、 两个正六边形的边长分别是3和4，则这两个正六边形的面积之比是________.
40、 如图①：
四边形ABCD为正方形，M、N分别是BC和CD中点，AM与BN交于点P，
(1)请你用几何变换的观点写出△BCN是△ABM经过什么几何变换得来的；
(2)观察图①，图中是否存在一个四边形，这个四边形的面积与△APB的面积相等？写出你的结论.(不必证明)
(3)如图②：六边形ABCDEF为正六边形，M、N分别是CD和DE的中点，AM与BN交于点P，问：你在(2)中所得的结论是否成立？若成立，写出结论并证明，若不成立请说明理由.
篇二：初三数学正多边形和圆
初三数学正多边形和圆、弧长公式及有关计算知识
一. 本周教学内容：
正多边形和圆、弧长公式及有关计算
［学习目标］
1. 正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。正n边形的半径，边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。
2. 正多边形和圆的关系定理
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。
3. 边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质：
（1）半径（或边心距）的比等于相似比。
（2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方，即相似比的平方。
4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是等分圆周。
（1）画正n边形的步骤：
将一个圆n等分，顺次连接各分点。
（2）用量角器等分圆
先用量角器画一个等于360?1的圆心角，这个角所对的弧就是圆的，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，nn就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的内接正n边形。
5. 对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。
6. 圆周长公式：C?2?R，其中C为圆周长，R为圆的半径，把圆周长与直径的比值?叫做圆周率。
7. n°的圆心角所对的弧的弧长：l?n?R 180
360?，等于中心角。 n n表示1°的圆心角的度数，不带单位。8. 正n边形的每个内角都等于?n?2?180?
n，每个外角为
二. 重点、难点：
1. 学习重点：
正多边形和圆关系，弧长公式及应用。
正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。
只有正五边形、正四边形对角线相等。
2. 学习难点：
解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。
例1. 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（ ） A. 3 3 B. 2 3 C. 2 3 D. 22 3
解：如图所示，BF＝2，过点A作AG⊥BF于G，则FG＝1
D
又∵∠FAG＝60° ?AF? FG123 ??sin?FAG32
故选B
点拨：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。
例2. 正三角形的边心距、半径和高的比是（ ）
A. 1∶2∶3
B. 1∶∶3 D. 1∶2∶ C. 1∶∶3
解：如图所示，OD是正三角形的边心距，OA是半径，AD
是高
设OD?r，则AO＝2r，AD＝3r
∴OD∶AO∶AD＝r∶2r∶3r＝1∶2∶3
故选A
点拨：正三角形的内心也是重心，所以内心到对边的距离等于到顶点距离的
得到解决。
1。通过这个定理可以使问题2
例3. 周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是（ ） A. S3?S4?S6
C. S6?S3?S4 B. S6?S4?S3 D. S4?S6?S3
解析：设它们的周长为l，则正三角形的边长是a3?11l，正四边形的边长为a4?l，正六边形的边长为34
a6?1l 6
?S3?1211332a3sin60???l2??l 229236
2S4?a4?
12l16
1211332S6?6?a6sin60??6??l2??l2236272
?S6?S4?S3
故选B
点拨：一定要注意三个正多边形的周长相等这一重要条件，否则容易得出错误结论。
例4. 如图所示，正五边形的对角线AC和BE相交于点M，求证：
（1）ME?AB；
（2）ME?BE·
BM 2
点悟：若作出外接圆可以轻易解决问题。
证明：（1）正五边形必有外接圆，作出这个辅助圆，则 ?1 AB??360??72? 5
∴∠BEA＝36° ?2 ?EC??360??144? 5
1?144??72?2
??EMA?180??36??72??72???EAM ??EAC?
?ME?AE?AB
?? （2）?BC?AB，??CAB??BEA
又∵公共角∠ABM＝∠EBA
∴△ABM∽△EBA ABBM? BE AB
?AB2?BE·BM?
例5. 已知正六边形ABCDEF的半径为2cm，求这个正六边形的边长、周长和面积。
解：∵正六边形的半径等于边长
∴正六边形的边长a?2cm
正六边形的周长l?6a?12cm
正六边形的面积S?6?13?2?2??63cm2 22
点拨：本题的关键是正六边形的边长等于半径。
例6. 已知正方形的边长为2cm，求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积。
解：∵正方形的边长为2cm
∴正方形的外接圆半径为2cm
∴外接圆的外切正三角形一边上的高为3cm
∴正三角形的边长为33??2cm sin60?3
2
13?26?26??6cm2 22 ∴正三角形的面积为
点拨：本题的重点是正方形的边长、圆的半径和正三角形的半径之间的关系。
例7. 如图所示，已知⊙O1和⊙O2外切于点P，⊙O1和⊙O2的半径分别为r和3r，AB为两圆的外公切线，
??A、B为切点，求AB与两弧PA、PB所围的阴影部分的面积。
解：连结O1A、O2B，过点O1作O1C?O2B
在Rt?O1O2C中，O1O2?r?3r?4r，O2C?3r?r?2r ?O1C?r2?4r2?23r
∴梯形O1ABO2的面积为： 1?r?3r?·23r?4r2 2
又∵sin?O2O1C?O2C2r1?? O1O24r2
??O2O1C?30?
??O2?60?，?PO1A?120?
120?r212??r ∴扇形O1PA的面积为：3603
60?·(3r)232??r 扇形O2PB的面积为：3602
∴阴影部分的面积为： 43r2?1232?11??r??r??43???r2 ?326?
点拨：求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，最后通过面积的加减得出结论。
例8. 如果弧所对的圆心角的度数增加1°，设弧的半径为单位1，则它的弧长增加___________。 解：由弧长公式l?n?R，得： 180
当弧所对的圆心角的度数增加1°，则弧长为?n?1??R
180
??n?1??R?n?R???1?180180180?180
∴弧长增加?
180，故填?
180
点拨：本题主要考查弧长公式l?n?R。 180
例9. 如图，大的半圆的弧长为a，n个小圆的半径相等，且互相外切，其直径和等于大半圆的直径，若n个小半圆的总弧长为b，则a与b之间的关系是（ ）
A. a?b B. a?nb C. a?b nD. a??b
解：设大半圆的半径为R，小半圆的半径为r
由题意，得：a??R ?R?a
?
∴小圆的半径r?a n?
aa? n?n
a ∴n个小半圆的总弧长b?n·?a n
即b?a，故选A。 ∴每个小半圆的弧长为?·
点拨：本题的关键是大半圆的半径和小半圆的半径之间的关系，然后通过弧长和半径之间的关系求解。
??AC 例10. 如图所示，两个同心圆被两条半径截得的的长为6?cm，BD的长为10?cm，若AB?12cm，
则图中阴影部分的面积为（ ）
篇三：正多边形与圆教学设计
24.3 正多边形和圆
三维目标：
知识与技能：了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．
能力目标：
领会“特殊—一般—特殊”是认识事物的重要方法。
德育目标：
对学生进行审美观教育。
教学重难点:
重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系． 难点与关键：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．
教学准备：
多媒体课件
教学方法：
问题探究
教学过程：
活动一：我观察，我发现
课件展示正多边形图形让学生直观的了解这多边形。
活动二：我探究，我发现
概念探究：
1、什么样的图形是正多边形？
2、正多边形具有哪些性质？
3、矩形，菱形是正多边形吗？
4、你能做出一个正多边形吗？
画法探究：
1、正n边形与圆有什么关系？
2.怎样利用圆得到正多边形呢？
3.自学课本关于圆内接正五边形的证明？
与多边形有关计算的探究：
1、自学课本105页，熟记正多边形的有关观念.
2、根据图形计算如下量：
3、自学课本106页例。
活动三：我掌握，我应用
1、完成学案100页典例探究2；
2、完成学案100页巩固训练6题；你能的到什么结论？
活动四：我总结，我反思
1、怎样的多边形是正多边形？
2、怎样画一个正多边形？
3、与多边有关的计算。
『板书设计』
24.3正多边形和圆
正多变形：边相等，角相等。
是轴对称图形，边为偶数的正多边形是中心对称图形。 正多边形内角：
正多边形中心角：
正多边形边心距：
正多边形面积：
《正多边形和圆课件》
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