篇一:2016北京大学博雅计划数学详细解析
1。3。4正确
3. ①DE?EF=r-OE ①
2
2
DE2=r2+OE2 ②
1242-24?182
(②-①)?OE=
22
?OE=② 连接CF,?DOE ?DFC
∴
DFDC
=?(24+18)?24=2r2 DODE
?r2=42?12则OE2=DE2-r2=72
?OE=4.分子为1的有....为2的有.
1111123456223345
,为3的有.为4的有为5的有共11种
563545
5方法1.韦达定理
由题可设其两根分别为x1,x2, x1,x2为方程x-3x-1=0的两根,
22242???x1+x2=3?x1+x2=(x1+x2)-2x1x2=11?x1+ax1+bx1+c=0
∴???4,且?4,由两4222222
xx=-1???12?x1+x2=(x1+x2)-2x1x2?x2+ax2+bx2+c=0
2
=0式相加、得119+11a+3b+2c=0①两式相减得 3a+b+33②
13②?4-①得到 a+b-2c=-
方法2. 解析:设m是方程x2-3x-1=0的根,则m2=3m+1①,且m4+am2+bm+c=0②. ①代入②得,(9+a)m2+(6+b)m+c+1=0, 从而m也是方程(9+a)x2+(6+b)x+c+1=0的根,
9+a6+bc+1
==,即b=-3a-33,c=-a-10, 1-3-1故a+b-2c=-13.
所以
.方法3.高次函数除法,既然x-3x-1=0的根也是方程x+ax+bx+c=0的根,则
2
4
2
x4+ax2+bx+c一定可分解,成(x2-3x-1)(x2+3x+m)(没有三次项)的形式,所以
可以用高次函数除法.
x2+3x+(a+10)
(x2-3x-1)x4+0x3+ax2+bx+c
x-3x-x
————————————
3x+(a+1)x 3x-9x-3x —————————
3
2
4
3
2
32
(a+10)x+(b+3)x+c所以?
∴x4+ax2+bx+c=(x2-3x-1)(x2+3x+a+8)
?a+b-2c=-13.
2
?3a+b+33=0
?a+c+10=0
1可知,x+ax+bx+c=(x-3x-1)(x+3x+m) 方法4.待定系数特殊化.由○
4222
不妨令m=-1,则x+ax+bxc+=x(-x3-x1)(+x3-1)此时a=-11,b=0,c=1.∴a+b-2c=-13.
4222
=(x2-1)29-2x=x4-11x2+1
6.由题可知:
a+log4ka+log8k
=
a+log2ka+log4k
由合分比性质原式式
1
-log2k
1(a+log8k)-(a+log4k)1
==∴q= =
3(a+log4k)-(a+log2k)-logk3
2
2
π210π210
7.①设A=coscosπ cosπ B=sinsinπ sinπ
1111111111111246201
π=-10B 则A?B=10sinπsinπsinπ sin
21111111121
∴A=-10
2
π210π1π1
②设A=coscosπ cosπ则sin?A= =-10sin ∴A=-10
111111112112
2
z12(z1)2(z)z12z122=()==8. ①z1=z2为实数
z2z1z2z2z2
2015
z1z13z1k1-w20163
∴3=1设=w 则w=1 ∴∑()==0
z2z2z1-wk=02
②z1=rez2=re
iθ-iθ
z1z12z132iθ
∴是实数 =e =re3iθ∴3θ=π或
z2z2z2
3θ=2π ∴(
z13
)=1
z2
44C12?C84?C49.=5775 3
A3
10. ∠BAD=∠ACD ∴AD⊥BC ∠2+∠3+∠4=
π
2
又∠1=∠4
DE?=18FD则BC=11
2
11. ①做两圆公切线KC,延长BA交KC于C. KC=CL?CAK ?CK BCACKAK∴== CKCBBK?BL=25.
②在法①的基础上链接KL 则 ∠CKL=∠CLK
∴∠AKL=∠BKL∠CKA=∠CBK
∴AK:BK=AL:BL ∴BL=25
∴∠1+∠2+∠3=
π
= ∴AD=BD?CD
2
12. ①∵2f(-x)+f[(-x)2-1]=1∴f(-x)=f(x) ∴f(x)是偶函数
2f(+f(1)=1?
?1
2f(1)+f(0)=1??f(=
3?2f(0)+f(-1)=
1?
2f(1)+f(0)=1?
1?
②2f(-1)+f(0)=1??f(=
3
2f(0)+f(-1)=
1??
13. 4?9=36减去147,258,369重合的六种=30 补充例16. :正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
4
解:我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四面体共有体共C8-12=58,每个四面体有3
对异面直线,正方体中的8个顶点可连成3?58=174对异面直线
14.ab=cd?
adacp
=假设==,其中(p,q)=1设a=mp,d=np cbcdq
∴c=mq,d=nq∴a+b+c+d=(m+n)(p+q) 301=7?43
∴令m+n=7或p+q=7即可.101,401为质数所以不行.所以选B
15.由题可知x,y,z为x-3x=c的三根∴x+y+z=3(三次函数韦达定理) 16.
由2≤(4a+1+4b+1+4c+1)(1+1+
1)∵4a+1+4b+1+4c+1=7设4a+1=m,4b+1=n,4c+1=t 以n
为主元,设f(n)=
则f(n)=
'
3
2
f(n)先增后减,在端点处取得最小值,∴当n=7-m-n时f(n)取得最大值
当n=0或7-m=n时f(n)取得最小值f(n)min={f(0),f(7-m)}
且f(0)=f(7-
m),令g(m)
则g(m)=
`
当m=0或者m=7时,g(m)取得最小值。同理f(m)也如此∴f(m,n)min=f(0,0)或
f
(0,7)或f(7,0)=.
=>12.
篇二:2016北京大学博雅计划数学试题
保密★启用前 试卷类型:A
2016北京大学博雅计划
数学试题2016.6
选择题共20小题;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正....确的选项代号填在表格中,选对得5分,选错扣1分,不选不得分。
1.直线y=-x+2与曲线y=-ex+a相切,则a的值为( )
A.-3C.-1
B.-2
D.前三个答案都不对
2.已知三角形ABC的三边长分别是a,b,c,有以下四个命题: (1
(2)以a2,b2,c2为边长的三角形一定存在; (3)以
a+bb+cc+a
,,为边长的三角形一定存在; 222
(4)以|a-b|+1,|b-c|+1,|c-a|+1为边长的三角形一定存在; 其中正确命题的个数为( )
A.2 C.4
B.3 D.前三个答案都不对
3.设AB,CD是圆O的两条垂直直径,弦DF交AB于点E,DE=24,EF=18,则OE等于( )
A
.C
.
B
.
D.前三个答案都不对
q?1
,x为有理数,p与q互素,p,q∈N*?1
p4.函数f(x)=?p,则满足x∈(0,1)且f(x)>的x
7
?0,x是无理数?
的个数为( )
A.12 C.14
B. 13
D. 前三个答案都不对
5.若方程x2-3x-1=0的根也是方程x4+ax2+bx+c=0的根,则a+b-2c的值为( ) A.-13C.-5
B.-9
D.前三个答案都不对
6.已知k≠1,则等比数列a+log2k,a+log4k,a+log8k的公比为( )
1
A.
2
1
B.
3
C.
1
4
cos
2π10π cos的值为( )1111
D.前三个答案都不对
7. cos
π
11
A.-
1
16
1
64
B.-
1 32
C.- D.前三个答案都不对
x12
8.设a,b,c为实数,a,c≠0,方程ax+bx+c=0的两个虚数根x1,x2满足为实数,则
x2
2
2015k=0
∑(x
x1
2
)k等于 ( )
A.1 C
B. 0 D.前三个答案都不对
9.将12个不同物体分成3堆,每堆4个,则不同的分法种数为 ( )
A.34650 C.495
B.5940D.前三个答案都不对
10.设A是以BC为直径的圆上的一点,D,E是线段BC上的点,F是CB延长线上的点,已知BF=4,BD=2,BE=5,∠BAD=∠ACD,∠BAF=∠CAE,则BC的长为( )
A.11C.13
B.12D.前三个答案都不对
11.两个圆内切于K,大圆的弦AB与小圆切于L,已知AK:BK=2:5,AL=10,则BL的长为 ( )
A.24C.26
B.25
D. 前三个答案都不对
12.f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x均有2f(x)+f(x2-1)=
1,则f(等于( )
A.01
C.
3
1B.
2
D.前三个答案都不对
13.从一个正9边形的9个顶点中选3个,使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是( )
A.30C.42
B.36
D.前三个答案都不对
14.已知正整数a,b,c,d满足ab=cd,则a+b+c+d有可能等于( )
A.101
B.301
C.401 D.前三个答案都不对
15.三个不同实数x,y,z满足x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2,则x+y+z等于( )
A.-1 C.1
B.0
D.前三个答案都不对
16.已知a+b+c=
1( )
A.[10,11) C.[12,13)
B. [11,12)
D. 前三个答案都不对
17.在圆内接四边形ABCD中,BD=6,∠ABD=CBD=30?,则四边形ABCD的面积等于( )
A
. C
.
B
.
D.前三个答案都不对
18.1!+2!+ +2016!除以100所得的余数为( )
A.3 C.27
B.13D.前三个答案都不对
?x+y2=z3
?234
19.方程组?x+y=z的实数解组数为( )
?345?x+y=z
A.5 C.7
B.6
D.前三个答案都不对
x3+x3x3+x
20.方程()+=3x的所有实根的平方和等于( )
33
A.0 C.4
B. 2
D.前三个答案都不对
参考答案:
ABCDABDBDA BCABDCBBCC
篇三:2016北京大学博雅计划数学试卷
《北大博雅计划初审》
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