篇一：毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯学派与数的和谐性
在古希腊的自然哲学学派中，毕达哥拉斯学派是一个特别重视数学、讲究数学传统的学派．尤为可贵的是，他们提出了简单性、和谐性及美的原则，认为天体星球间有一定数目比例关系，这种关系造就了一种天体的和谐．这种和谐使苍穹无限的宇宙星空，处于一种纷繁而不乱，多变而有序的永恒的运动之中，它很像一支气势雄伟又娓娓动听的交响乐，发出一种美妙而和谐的音响．各行星和地球之间的距离像琴弦的弦长一样成比例，从而奏出美妙的“天体音乐”．恩格斯曾评价说：“就像数服从于特定的规律那样，宇宙也是如此．于是宇宙的规律性第一次被说出来了．人们认为把音乐的音谐归结为数学的比例的是毕达哥拉斯”，几千年来，毕达哥拉斯学派“简单、和谐、完美”的思想成为后来宇宙规律性一次又一次被更清晰、更准确地说出来的深刻的哲学思想基础，对后人的科学研究工作产生了重要的影响，也成为今天我们值得回味和传承的人类精神的火花．
毕达哥拉斯是欧洲历史上最早的哲学家和科学家，他曾就学于泰勒斯及其学生阿那克西曼德，在他的影响下热衷于探讨万物本原，把整个宇宙看作是有生命的，从对立中去寻找世界演化的动力。他的基本主张是：灵魂不死和轮回转世；不存在绝对意义的新东西。一切事物都处于周而复始的循环中，一切生命是血脉相通的。 毕达哥拉斯也是一位杰出的自然科学家。他发现了毕达哥拉斯定理；“数学”这个词也是毕达哥拉斯学派首先采用的。他们在数学上研究发现的深度和广度在当时世界上遥遥领先。亚里士多德也说：“他们把全部时间用在这种研究上，进而认为数学的始基就是一切存在物的始基。”在天文学上，他们也进行了一些天才的猜测；如月亮不发光、只是反射太阳光“中心火”的存在，启明星和长庚星是同一颗星等。
二、数原论与数的和谐
毕达哥拉斯学派认为，事物本身就是数。数的特征是内在于音阶，内在于天体，内在于许多其它事物的。而事物是由于摹仿数而存在。数既是存在物的质料因，又可描写存在物的性质和永恒状态，即数既是事物的质料因，又是事物的形式因。数先于作为整体的自然界，先于种种自然的事物。毕达哥拉斯关于本原的思想，是集中表达了这样三个基本命题：“数”、“对立”、“一”是万物本原，这三者并非平行关系，而是从属关系。前者意味数是万物的本原，后两者又是对数的进一步解说。于是“数的元素和本原，也就是万物的元素和本原。”
在人类对世界本原的探讨过程中，抽象思维能力是逐步提高和发展的泰勒斯的“水”，阿那克西曼德的“无定形者”，阿那克西美尼的“气”，赫拉克利特的“火”，毕达哥拉斯的“数”，巴门尼德的“存在”，德漠克里特的“原子”，柏拉图的“理念”，亚里士多德的“形式”，霍布斯的“广延”，霍尔巴赫的“刺激感官的某物”，一直到列宁的“物质”。可见，毕达哥拉斯学派在先哲基础上，以别开生面的方式，不再只把特殊的东西升华为普遍的东西当作事物的本质，而是把从个别事物中抽象出来的一般，把从质的规定性中抽象出来的量的规定性，理解为事物的本质，“本质被描述成非感性的东西，于是一种与感性，与旧观念完全不同的东西被提升和说成本体和真实的存在。”在这一历史逻辑进程中，毕达哥拉斯的范畴是第一个关节点，他第一个开始思索世界的同一性和规律性的问题。他把作为事物规定性的数提升到世界本原的地位，“数”在此不同于水、气、土之类单纯的直接的具体物质形态，从而达到比前人更抽象更具哲学思辨的理论高度。因此黑格尔说：“毕达哥拉斯学派的这种凭借数的讲法，因为它是最初的哲学，由于其中捉摸不定的性质，所以已经消灭了。以后柏拉图、斯彪西波、亚里士多德等人用轻易的手法窃取了毕达哥拉斯学派的果实。”而另一方面，毕达哥拉斯与其后哲学家纯粹用理念、存在等。0灵、观念来追寻世界本原，又更具现实物质基础。
既然万物产生于“数”，数具有和谐的性质，那么万物亦具有和谐或趋向和谐的性质，世界统一是由于万物之间数量关系的和谐比例。毕达哥拉斯把己存在于生产、技艺领域内的和谐观念，提炼概括加以升华，使之成为一种哲学范畴，也即毕达哥拉斯主义的核心观念。首先让我们看看毕达哥拉斯的“天体和谐”理论。毕达哥拉斯在音乐的研究中，发现音程间一定数的比例构成美的和音。他还研究了建筑、雕刻等造型艺术中什么样的比例才能产生美的效果，提出了著名的“黄金分割”定理。他继而将此思想运用到大体上，认为宇宙中的一切都存在着和谐，宇宙的秩序是以那种绝对的数的和谐为根据的。据亚里士多德《论大体》中的记载，毕达哥拉斯学派认为，天体在运行时，各自发出声音，每个大体因其体积的差异而各自发生特殊的音调，而这种音调又是由天体之间的距离所决定的，这些距离彼此之间存在和谐的关系，与音乐的音程对应，由此产生了运动着的大体的和谐的音乐，即“天体乐章”。
这里，需简单说明毕达哥拉斯主义的两个重要范畴：“和谐”和“科斯摩斯”、“和谐”（ha rm onica），它的
最初的意思是将不同的事物连接或调合在一起，用于音乐就是将不同音调结合在一起，成为音阶，这种音乐意义的和谐在公元前5世纪初期就已建立起来了。毕达哥拉斯使用此范畴主要是指一定的数的比率关系。“科斯摩斯”，这个字原意是“秩序”，但在公元前5世纪初就用作‘世界、宇宙”的意思了。毕达哥拉斯认为从地上的事物到天上的星体，都同样具有数的比率关系，是具有秩序的和谐的整体。
可能正是在此影响下，赫拉克利特才提出逻各斯的思想，后来，无论是恩培多克勒、阿那克萨哥拉和原子论者，或是拍拉图、亚里士多德都向这个方向发展，探讨整个世界的秩序和规律。对于毕达哥拉斯关于宇宙和谐、规律性的观念，恩格斯曾给以高度评价，明确指出：“数服从子一定的规律，同样，宇宙也是如此，于是宇宙的规律性第一次被说出来了。”而和谐又是存在于对立中，无论音乐、大体都在对立中达到和谐，因为毕达哥拉斯的“第一个数都与奇偶这组对立有关，都是奇偶两个对立面的统一，而奇偶两个对立面的统一就是和谐。”可见，他的和谐即指奇和偶，有限和无限等对立面的统一状态。每一事物都是数的和谐，数本身又是对立面的统一。正因为这样，毕达哥拉斯哲学又明确指出。对立是存在物的始基。如音乐是由不同声音的音符构成的和谐。没有对立差别也就没有这种和谐的音乐。正如汤姆逊所说，毕达哥拉斯是“将音乐的和谐描写为对立的协调，多的统一，意见冲突者的调合。”显然，毕达哥拉斯主义的和谐又显现为对立面的协调，是包含着原始的“有限者”和“无限者”对立在内的，是由一系列的对立成分和数的和谐所造成的新的。有规定者”和规定性。由于原初的“一”，吸进了无规定者，有质料和分离，才产生出各种数的对立、各种性质的事物，才有可能构成真正有内容的有规定事物。人们努力追求美和善的世界，必须从对立的统一中才能理解和达到。毕达哥拉斯学派明确列出了十对对立范畴：有限和无限、奇和偶、一和多、右和左、阳与阴、静和动、直和曲、明和暗、善和恶、正方和长方。这对后来的赫拉克利特、柏拉图和新柏拉图学派，特别是普罗提诺的辩证法思想是有一定影响的。
篇二：论毕达哥拉斯学派的主要数学成就
论毕达哥拉斯学派的主要数学成就
姓名：XXXX 班级：XXXX级X班
专业：XXXXXXXXXXXXXX 学号：XXXXXXXXXXX
摘要：毕达哥拉斯学派将抽象的数作为万物的本原．研究数的目的不是为了实际应用，而是想通过揭露数的奥秘来探索宇宙的永恒真理．他们对数作过深入的研究，数与音乐和谐之间的关系、数与几何图形的关系、数与天体运行的关系。 关键词：毕达哥拉斯学派；数；勾股定理
毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。这个学派主要是研究“哲学”和“数学”，相传，“哲学”和“数学”这两个词就是由毕达哥拉斯学派创造的。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。
毕达哥拉斯学派将抽象的数作为万物的本原．研究数的目的不是为了实际应用，而是想通过揭露数的奥秘来探索宇宙的永恒真理．他们对数作过深入的研究，并得到很多结果，但常常将数和迷信奇特地结合起来．他们注意到数与音乐和谐之间的关系、数与几何图形的关系、数与天体运行的关系。把整个学习课程分为四大部分：1．数的绝对理论——算术；2．数的应用——音乐；3．静止的量——几何；4．运动的量——天文．合起来叫做“四道”(quadrivium，四条道路，或“四艺”)，这名称一直沿用到中世纪．后来又加上文法、修辞、逻辑，合称“七艺”．中国古代有“四术”(诗、书、礼、乐)、“六艺”(礼、乐、射、御、书、数)之说，堪与媲美。
在几何学方面，毕达哥拉斯学派主要有2大几何学成就，一就是发现和证明了“勾股定理”，他是用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和，后来被欧几里得编入了《几何原本》之中。至今，西方人仍然把“勾股定理”叫做“毕达哥拉斯定理”。这个伟大的定理导致了无理数的发现。毕达哥拉斯学派的另外一项几何成就就是正多面体作图，他们称正多面体为“宇宙形”。尽管人们将许多的几何成就归功于毕达哥拉斯学派，但这个学派信奉的基本信条是“万物皆数”。
毕达哥拉斯学派崇拜的数主要有整数和两个整数形成的比，即有理数。他们
对这些数做出过深入的研究，发现了完全和亲和数，即将抽象的数作为万物的本源，通过揭露数的奥秘来探索宇宙的永恒真理。该学派宣称宇宙的万物主宰者也就是上帝是用数来统御宇宙的，认为万物含数。这种“万物皆数”的概念从另一个角度强调了数学作用于客观世界，这也是数学化思想的最初表现形式。该学派的初步数学化思想促进了对自然数的分类研究，他们定义了很多的概念。
毕达哥拉斯对数论作了许多研究，将自然数区分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数和五角数等。在毕达哥拉斯派看来，数为宇宙提供了一个概念模型，数量和形状决定一切自然物体的形式，数不但有量的多寡，而且也具有几何形状。在这个意义上，他们把数理解为自然物体的形式和形象，是一切事物的总根源。因为有了数，才有几何学上的点，有了点才有线面和立体，有了立体才有火、气、水、土这四种元素，从而构成万物，所以数在物之先。自然界的一切现象和规律都是由数决定的，都必须服从“数的和谐”，即服从数的关系。
毕达哥拉斯学派还从数与形的关系出发，研究了二者的结合物—“行数”，且由此得出了一些数列的重要公式，这一系列的数列现在已经成为高阶等差数列的范围。
近代数学特点之一是它的高度抽象性．人类最初认识数是从具体的事物开始的，3头牛、5棵树是容易理解的，但从这些实际的事物中抽象出纯粹的数3与5，却经历了漫长的岁月．这是人类认识上的一次巨大的飞跃，这一飞跃首先应归功于毕达哥拉斯学派．他们承认并强调数学的对象是抽象的思维，和实际的事物有所区别．他们将抽象的数与形结合起来，进行了一系列的探讨，使数学逐渐成为一门独立的学科．同时又给它披上一层神秘的外衣，使人莫测高深。 参考文献：
[1]张风帆;毕达哥拉斯主义新论[J];辽宁师范大学学报(社会科学版);2000年03期.
[2]娄玉芹;毕达哥拉斯学派的思想对后人之影响[J];自然辩证法研究;2002年03期
[3]傅海伦.中外数学史概论.科学出版社,2007
篇三：一、毕达哥拉斯学派和第一次数学危机
一、 毕达哥拉斯学派和第一次数学危机
1、古希腊数学
希腊人在文明史上首屈一指，在数学史上至高无上，他们虽也取用了周围其他文明世界的一些东西，但希腊人创造了他们自己的文明和文化，这是一切文明中最宏伟的，是对现代西方文化的发展影响最大的，是对今日数学的奠基有决定作用的。
古代希腊文明一直延续到公元600年，从数学史的观点讲，可把它分为两段时期：一段是从公元前600年到公元前300年的古典时期；一段是从公元300年到公元600年的亚历山大时期。
数学作为一门有组织、独立的和理性的学科来说，在公元前600年到前300年的古典希腊学者登场之前是不存在的。在之前的巴比伦和埃及文明中，可以发现整数和分数的算术，包括进位制记数法，有初步的代数和几何上的一些经验公式。几乎还没有成套的记号，几乎没有有意识的抽象思维，没有搞出一般的方法论，没有证明甚或直观推理的想法，使人能深信他们所做的运算步骤或所用的公式是正确的。如果将埃及人和巴比伦人比作粗陋的木匠，而希腊人则是大建筑师。
古典希腊数学是在先后相继的几个中心地点发展起来的，每处都在前人工作的基础上进行建筑。在每个中心地点总有无正式组织的成群学者在一两个伟大学者领导下开展活动。这类组织在现代也是习见的，它之所以存在也是可以理解的。今日，当一位大学者住在某一处——通常是个大学时，其他学者就接踵而去，向大师学习。
毕达哥拉斯学派和第一次数学危机 1
达哥拉斯学派。从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。
毕达哥拉斯是一个非常优秀的教师，他认为每一个人都该懂些几何。有一次他看到一个勤勉的穷人，他想教他学习几何，因此对此人建议：如果这人能学懂一个定理，那么就给他一块钱币。这个人看在钱的份上就和他学几何了，可是过了一个时期，这学生对几何产生了非常大的兴趣，反而要求毕达哥拉斯教快一些，并且建议：如果老师多教一个定理，他就给一个钱币。不需要多少时间，毕达哥拉斯把他以前给那学生的钱全部收回了。
毕达哥拉斯的哲学思想具有一些神秘主义因素。从他开始，希腊哲学开始产生了数学的传统。毕氏曾用数学研究乐律，而由此所产生的“和谐”的概念也对以后古希腊的哲学家有重大影响。毕达哥拉斯还在西方长期被认为是毕达哥拉斯定理（中国称勾股定理）首先发现者。在宇宙论方面，毕达哥拉斯结合了米利都学派以及自己有关数的理论。他认为存在着许多但有限个世界，并坚持大地是圆形的，不过则抛弃了米利都学派的地心说。毕达哥拉斯对数学的研究还产生了后来的理念论和共相论。即有了可理喻的东西与可感知的东西的区别，可理喻的东西是完美的、永恒的，而可感知的东西则是有缺陷的。这个思想被柏拉图发扬光大，并从此一直支配着哲学及神学思想。 他还坚持数学论证必须从“假设”出发，开创演绎逻辑思想，对数学发展影响很大。
最早把数的概念提到突出地位的是毕达哥拉斯学派。他对数字痴迷到几近崇拜，企图用数来解释一切，宣称数是宇宙万物的本原。他同时任意地把非物质的、抽象的数夸大为宇宙的本原，认为“万物皆数”，“数是万物的本质”，是“存在由之构成的原则”，而整个宇宙是数及其关系的和谐的体系。毕达哥拉斯将数神秘化，说数是众神之母，是普遍的始原，是自然界中对立性和否定性的原则。毕达哥拉斯学派认为“1”是数的第一原则，万物之母，也是智慧；“2”是对立和否定的原则，是意见；“3”是万物的形体和形式；“4”是正义，是宇宙创造者的象征；“5”是奇数和偶数，雄性与雌性和结合，也是婚姻；“6”是神的生命， 毕达哥拉斯学派和第一次数学危机 2
是灵魂；“7”是机会；“8”是和谐，也是爱情和友谊；“9”是理性和强大；“10”包容了一切数目，是完满和美好。
毕达哥拉斯的数学贡献很多。黄金分割点；并且对数论作了
许多研究，将自然数区分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数和五角数等；三角形的三角之和是180°；关且还有一套关于相似的理论；平面可为等边三角形、正方形和正六边形所填满；正多面体只有五种——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体等等。
3、毕达哥拉斯定理
在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：
勾股定理现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。 在中国古代大约是公元前2到1世纪成书的数学著作《周髀 算经》中假托商高同周公的一段对话。商高说：“?故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是中国著名的勾股定理。），不过最早的证明大概可归功于毕达哥拉斯。
4、数学史上第一次数学危机
第一次数学危机，是数学史上的一次重要事件，发生于大约公元前400年左右的古希腊时期，自根号二的发现起，到公元前370年左右，以无理数的定义出现为结束标志。这次危机的出现冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派，同时标志着西方世界关于无理数的研究的开始。
整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。但是，毕达哥 毕达哥拉斯学派和第一次数学危机 3
第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，
几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。整数的尊祟地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。于是，几何学开始在希腊数学中占有非凡地位。同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证实才是可靠的。从此希腊人开始从 “自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。
5、是无理数的证明
反证法：假设是有理数。?p两边平方得p2?2q2，q
所以p2是偶数，因此p也须是偶数（因为奇数2k＋1的平方后是224k＋4k＋1＝2(2k＋2k)＋1仍旧是奇数）。所以我们可以设p是
22222a的样子，代入上式得(2a)＝2q，即4a=2q两边同时消掉2
22可得2a＝q，即q也是偶数。由于p，q都是偶数，它们有一个公约数2，这和我们最初假设p，q无公约数产生矛盾，因此我
6、作业：
查阅相关资料，运用一种方法证明毕达哥拉斯定理。
毕达哥拉斯学派和第一次数学危机 4
《毕达哥拉斯学派》
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