篇一：函数单调性的判定方法
函数单调性的判定方法
1.判断具体函数单调性的方法
1.1 定义法
一般地，设f为定义在D上的函数。若对任何x1、x2?D，当x1?x2时，总有
(1)f(x1)?f(x2)，则称f为D上的增函数，特别当成立严格不等f(x1)?f(x2)时，称f为D上的严格增函数；
(2)f(x1)?f(x2),则称f为D上的减函数，特别当成立严格不等式f(x1)?f(x2) 时，称f为D上的严格减函数。
利用定义来证明函数y?f(x)在给定区间D上的单调性的一般步骤： （1）设元，任取x1,x2?D且x1?x2； （2）作差f(x1)?f(x2)；
（3）变形（普遍是因式分解和配方）；
（4）断号（即判断f(x1)?f(x2)差与0的大小）；
（5）定论（即指出函数 f(x) 在给定的区间D上的单调性）。 例1.用定义证明f(x)??x3?a(a?R)在(??,??)上是减函数。
证明：设x1,x2?(??,??)，且x1?x2，则
33332f(x1)?f(x2)??x1?a?(?x2?a)?x2?x1?(x2?x1)(x12?x2?x1x2).
2
?x1x2?(x1?由于x12?x2
x2232
)?x2?0，x2?x1?0 24
2
则f(x1)?f(x2)?(x2?x1)(x12?x2?x1x2)?0，即f(x1)?f(x2)，所以f(x)在???,???上是减函数。
例2.用定义证明函数f(x)?x?
k
(k?0) 在(0,??)上的单调性。 x
证明：设x1、x2?(0,??)，且x1?x2，则
f(x1)?f(x2)?(x1?
kkkk
)?(x2?)?(x1?x2)?(?)
x1x2x1x2
1
?(x1?x2)?k(
x2?x1x?x2xx?k
)?(x1?x2)?k(1)?(x1?x212)， x1x2x1x2x1x2
又0?x1?x2 所以x1?x2?0，x1x2?0，
当x1、x2?(0,k]时x1x2?k?0?f(x1)?f(x2)?0，此时函数f(x)为减函数； 当x1、x2?(k,??)时x1x2?k?0?f(x1)?f(x2)?0，此时函数f(x)为增函数。 综上函数f(x)?x?
k
(k?0)在区间(0,k]内为减函数；在区间(k,??)内为增函数。 x
此题函数f(x)是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于
x1x2?k与0的大小关系(k?0)不是明确的，因此要分段讨论。
用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数x1,x2当x1?x2时，容易得出
f(x1)与f(x2)大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。 1.2 函数性质法
函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。对于一些常见的简单函数的单调性如下表：
2
一些常用的关于函数单调的性质可总结如下几个结论： ⑴．f(x)与f(x)+C单调性相同。（C为常数）
⑵．当k?0时，f(x)与kf(x)具有相同的单调性；当k?0时， f(x)与kf(x)具有相反的单调性。 ⑶．当f(x)恒不等于零时，f(x)与
1
具有相反的单调性。 f(x)
⑷．当f(x)、g(x)在D上都是增（减）函数时，则f(x)＋g(x)在D上是增（减）函数。 ⑸．当f(x)、g(x)在D上都是增（减）函数且两者都恒大于0时，f(x)g(x)在D上是增（减）函
数；当f(x)、g(x)在D上都是增（减）函数且两者都恒小于0时，f(x)g(x)在D上是减（增）函数。
⑹．设y?f(x),x?D为严格增（减）函数，则f必有反函数f?1，且f?1在其定义域f(D)上也是严
格增（减）函数。
例3.判断f(x)?x?x3?log2x3?2x?1(x2?1)?5的单调性。
解:函数f(x)的定义域为(0,??)，由简单函数的单调性知在此定义域内x,x3,log2x3 均为增函数，因为2x?1?0,x2?1?0由性质⑸可得2x?1(x2?1)也是增函数；由单调函数的性质⑷知再由性质⑴知函数f(x)?x?x3?log2x3?2x?1(x2?1)+5在(0,??)为单调x?x3?log2x为增函数，
3
递增函数。
x?a
(a?b?0)，判断f(x)在其定义域上的单调性。 x?bx?a
解:函数f(x)?的定义域为(??,?b)?(?b,??).
x?b
a?bx?a
先判断f(x)在(?b,??)内的单调性，由题可把f(x)?转化为f(x)?1?，又a?b?0故
x?bx?b
1a?ba?b
a?b?0由性质⑶可得为减函数；由性质⑵可得为减函数；再由性质⑴可得f(x)?1?
x?bx?bx?b
例4.设函数f(x)?
在(?b,??)内是减函数。
同理可判断f(x)在(??,?b)内也是减函数。故函数f(x)?
x?a
在(??,?b)?(?b,??)内是减函数。 x?b
函数性质法只能借助于我们熟悉的单调函数去判断一些函数的单调性，因此首先把函数等价地转化成我们熟悉的单调函数的四则混合运算的形式，然后利用函数单调性的性质去判断，但有些函数不能化成简单单调函数四则混合运算形式就不能采用这种方法。
1.3 图像法
用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法。根据单调函数的图像特征，若函数f(x)的图像在区间I上从左往右逐渐上升则函数f(x)在区间I上是增函数；若函数f(x)图像在区间I上从左往右逐渐下降则函数f(x)在区间I上是减函数。、
例5. 如图1-1是定义在闭区间[-5,5]上的函数y?f(x)的图像，试判断其单调性。
解：由图像可知：函数y?f(x)的单调区间有[-5,-2），[-2,1），[1,3），[3,5）.其中函数y?f(x)在区间[-5,-2），[1,3）上的图像是从左往右逐渐下降的，则函数y?f(x)在区间[-5,-2），[1,3）为减函数；函数y?f(x)在区间[-2,1），[3,5]上的图像是从往右逐渐上升的，则函数y?f(x)在区间[-2,1），[3,5]上是增函数。
例6.利用函数图像判断函数?f(x)?x?1；?g(x)?2x；?h(x)?2x?x?1在[-3,3]上的单调性。
分析：观察三个函数，易见h(x)?f(x)?g(x)，作图一般步骤为列表、描点、作图。首先作出
f(x)?x?1和g(x)?2x的图像，再利用物理学上波的叠加就可以大致作出h(x)?2x?x?1的图像，
4
最后利用图像判断函数h(x)?2x?x?1的单调性。
解:作图像1-2如下所示：由以上函数图像得知函数?f(x)?x?1在闭区间[-3,3]上是单调增函数；?g(x)?2x在闭区间[-3,3]上是单调增函数；利用物理上波的叠加可以直接大致作出?h(x)?2x?x?1在闭区间[-3,3]上图像，即?h(x)?2x?x?1在闭区间[-3,3]上是单调增函数。事实上本题中的三个函数也可以直接用函数性质法判断其单调性。
用函数图像法判断函数单调性比较直观，函数图像能够形象的表示出随着自变量的增加，相应的函数值的变化趋势，但作图通常较烦。对于较容易作出图像的函数用图像法比较简单直观，可以类似物理上波的叠加来大致画出图像。而对于不易作图的函数就不太适用了。但如果我们借助于相关的数学软件去作函数的图像，那么用图像法判断函数单调性是非常简单方便的。 1.4 复合函数单调性判断法
u?g(x)在X内单调，定理1：若函数y?f(u)在U内单调，且集合{u︳u?g(x)，x?X}?U
（1）若y?f(u)是增函数，u?g(x)是增（减）函数，则y?f[g(x)]是增（减）函数。（2）若y?f(u)是减函数，u?g(x)是增（减）函数，则y?f[g(x)]是减（增）函数。归纳此定理，可得口诀：同则增，异则减（同增异减） 复合函数单调性的四种情形可列表如下：
６
篇二：函数的单调性与最大(小)值课件
1.3.1 函数的单调性与最大(小)值
第一课时 函数的单调性
学习目标要求：
1.理解函数单调性的概念；
2.掌握判断函数单调性的一般方法；
3.体验数形结合思想在函数性质研究中的价值，掌握其应用。
一、函数单调性的概念
1：增函数
(1)定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，区间D称为函数f(x)的单调递增区间。
(2)几何意义：函数f(x)的图象在区间D上是上升的，如图所示：
2：减函数
(1)定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，区间D称为函数f(x)的单调递减区间。
(2)几何意义：函数f(x)的图象在区间D上是下降的，如图所示：
3：单调性与单调区间
定义：如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
思考：
(1)单调性是函数在定义域上的“整体”性质吗?
不是，由定义中“定义域I内某个区间D”知函数的单调递增区间或单调递减区间是其定义域的子集，这说明单调性是与“区间”紧密相关的，一个函数在定义域的不同区间可以有不同的单调性。
(2)定义中的“x1、x2”具备什么特征?
定义中的x1、x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1,x2，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1<x2；三是属于同一个单调递增区间或单调递减区间。
(3)增(减)函数定义的核心是一组不等关系,据此你还能得出什么结论?
增函数
有>0,减函数有<0
二、判断函数单调性的一般方法
(1)定义法：利用定义严格判断。一般步骤如下：
①取值：任选定义域中同一单调区间D上的自变量值x1，x2，且设x1<x2；
②作差：求f(x2)-f(x1)；
③变形：即将②中的差式f(x2)-f(x1)进一步化简变形，变到利于判断f(x2)-f(x1)的正负为止；变形的主要技巧：
A、因式分解：当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解；
B、通分：当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解；
C、配方：当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号；
D、分子或分母有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子或分母有理化，如f(x)=
④定号：根据变形结果，确定f(x2)-f(x1)的符号；
⑤判断：根据x1与x2的大小关系及f(x1)与f(x2)的大小关系，结合单调性定义得出结论。 典型例题
例1：证明函数f(x)=x+在(0,1)上为减函数。
例2：用单调性的定义证明函数f(x)?x2?1?x在R上是减函数。
(2)图象法：作出函数的图象,用数形结合的方法确定函数的单调性。
(3)直接法：对于我们所熟悉的函数，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数等。
(4)记住几条常用的结论：
a.函数y=f(x)与y=-f(x)的单调性相反;
b.当f(x)>0或f(x)<0时,函数y=与y=f(x)的单调性相反;
c.在公共区间内，“增+增=增”，“减+减=减”，“增-
减
=
增”，“减
-增=减”。
思考：
(1)单调区间的端点值如何取舍?
对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括区间端点，也可以不包括区间端点，但当函数在某些端点无意义时，单调区间就不能包括这些点。
(2)多个单调递增(减)区间之间能否用“∪”连接?
不能取这些区间的并集，而应用“,”将它们隔开或用“和”字连接。
三、函数单调性的应用
1、已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数，求实数a的取值范围。
名师导引：(1)二次函数的单调性取决于什么？
开口方向（a>0，开口向上；a<0，开口向下）与对称轴（-b/2a）
(2)(-≦,4]是函数的单调递减区间吗?
可能不是，可能是其子集。
解：
≧f(x)= x2+2(a-1)x+2，
?此二次函数图象的对称轴为x=1-a，
?f(x)的单调递减区间为(-≦,1-a]，
≧f(x)在(-≦,4]上是减函数，
?对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合，
?1-a≥4，解得a≤-3，
即实数a的取值范围为(-≦,-3]。
思考：
“函数f(x)的单调区间是(a,b)”与“f(x)在区间(a,b)上单调”有何不同的含义?
前者表明区间(a,b)是其单调区间的全部，而后者表明区间(a,b)是其单调区间的子集。
2、函数y=x2-2mx+3在区间[1,3]上具有单调性,则m的范围为 。
解析:≧函数图象的对称轴为x=m,
?函数在(-≦,m]上递减,[m,+≦)上递增,
≧函数在[1,3]上具有单调性,
?m≤1或m≥3.
答案:(-≦,1]∪[3,+≦)
3、已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数，且f(1-a)<f(3a-2)，求a的取值范围。 解：f(1-a)<f(3a-2)?
解得<a<.
?a的取值范围是(,).
第二课时 函数的最大(小)值
学习目标要求：
1.理解函数的最大(小)值及其几何意义； 2.会求一些简单函数的最大值或最小值； 3.体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值问题中的应用。
一、最值的概念
1：最大值
（1）定义：一般地，设函数y?f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ①对于任意的x?I，都有f(x)?M；
②存在x0?I，使得f(x0)?M。
那么，我们称M是函数y?f(x)的最大值（maximum value）.
（2）几何意义：函数y?f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标。
2：最小值
（1）定义：一般地，设函数y?f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x?I，都有f(x)?M；
②存在x0?I，使得f(x0)?M。
那么，我们称M是函数y?f(x)的最小值（minimum value）.
（2）几何意义：函数y?f(x)的最大值是图象最低点的纵坐标。
思考：
(1)定义条件中的“任意”一词表达什么含义?
“任意”是说对定义域内的所有元素所对应的每一个函数值都必须满足不等式f(x)≤M，即最大值是函数的“整体”的性质。
(2)定义条件中的“存在”一词表达什么含义?
两层含义：一是强调最大值的属性，即它是值域中的一个元素；二是强调最大值的唯一性。
(3)函数一定存在值域,那么函数一定存在最值吗?
对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y=。如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素。
(4)函数的单调性刻画了函数值大小的变化趋势,那么它与最值存在什么关系呢?
①若函数f(x)在闭区间[a,b]上是减函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；
若函数f(x)在闭区间[a,b]上是增函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)；
②若函数f(x)在开区间(a,b)上是增(减)函数，则f(x)在(a,b)上不存在最值，但可以说函数f(x)在区间(a,b)上的值域为(f(a)，f(b))或(f(b)，f(a))。
二、求函数最值（值域）常见的方法
1、观察法（数形结合法、图像法）
由函数的定义域结合图象（最值的几何意义：图象最高点、最低点的纵坐标），或直观观察，准确地判断函数值域的方法。
【例1】 如图为函数y=f(x)，x∈[-4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间。
解：观察函数图象可以知道：
图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(-1.5,-2)
所以函数y=f(x)，当x=3时取得最大值，最大值是3，
当x=-1.5时取得最小值，最小值是-2，
函数的单调递增区间为[-1.5,3)，[5,6)，
单调递减区间为[-4,-1.5)，[3,5)，[6,7]。
方法小结：如何利用图象求函数最值？
①画出函数y=f(x)的图象；
②观察图象，找出图象的最高点和最低点；
③写出最值,最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值。
【例2】求函数f(x)=
解:函数f(x)的图象如图
由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1，无最大值。
的最值。
2、单调性判定法
【例3】已知函数f(x)=,x∈[3,5]，求函数f(x)的最大值和最小值。
解：任取x1，x2∈[3,5]且x1<x2，则
篇三：《函数的单调性》教学设计
目录
《函数的单调性》...................................................................... 错误！未定义书签。
一、教学内容分析：.................................................................................................... 3
1.教材的地位和作用............................................................................................. 3
2.教学的重点和难点............................................................................................. 3
3.学时..................................................................................................................... 3
二、学情分析................................................................................................................ 4
1.学习对象............................................................................................................. 4
2.知识基础............................................................................................................. 4
3.能力基础............................................................................................................. 4
4.学习风格............................................................................................................. 4
三、教学目标................................................................................................................ 4
1.知识目标............................................................................................................. 4
2.能力目标............................................................................................................. 4
3.情感目标............................................................................................................. 4
四、教法学法分析........................................................................................................ 5
1.教法..................................................................................................................... 5
2.学法..................................................................................................................... 5
3.教学手段............................................................................................................. 5
五、教学过程................................................................................................................ 5
(一)创设情境，引入课题 ............................................................................. 5
(二)归纳探索，形成概念 ............................................................................. 6
1．借助图象，直观感知...................................................................................... 6
2．探究规律，理性认识...................................................................................... 7
3．抽象思维，形成概念...................................................................................... 8
（三）掌握证法，适当延展........................................................................ 8
1．难点突破.......................................................................................................... 8
2．详细板书.......................................................................................................... 8
3．归纳步骤.......................................................................................................... 9
（四）归纳小结，提高认识........................................................................ 9
1．学习小结.......................................................................................................... 9
2．布置作业.......................................................................................................... 9
六、学习流程图.......................................................................................................... 10
《函数的单调性》教学设计
一、教学内容分析：
1．教材的地位和作用
本节选自人教版高中数学必修1第一章第三节的第一课时1.3.1“单调性与最大（小）值”，在这里选取1.3.1中的 “单调性”做一个信息化教学设计。
首先，从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段，
第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高三利用导数为工具研究函数的单调性.高一单调性的学习，既是初中学习的延续和深化，又为高三的学习奠定基础．
其次，从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数的性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.
最后，从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材.
2．教学的重点和难点
重点：函数单调性的概念，判断、证明函数的单调性。
难点：函数单调性的概念形成。
3.学时
学时为一课时（45′）
二、学情分析
1.学习对象
这部分教学的学习对象是高一学生，他们的平均年龄只有16、17岁，具有勤于观察、好奇心强、大胆质疑、乐于表现的天性，具有一定的团结协作能力。因此，在教学中，要引导学生积极地讨论、大胆地质疑、精心地展示，给予学生客观正面的评价。正由以形象思维为主的认知水平逐渐转入以抽象思维为主的认知水平的发展阶段。因此，教学中应结合具体事例及直观的表象信息，来呈现学习的内容。
2.知识基础
学生已学习了函数的概念、定义域、值域及函数的表示方法。
初中阶段对函数的单调性有初步的了解认识，如“y随x的增大而增大” “y随x的增大而减小”。
3.能力基础
高一学生通过小学、初中的数学的学习，已具备一定的解决数学问题的能力，初步了解数形结合的思想，对于从具体到抽象的数学活动有一定的体会。
4.学习风格
伴随信息化时代的到来，学生已经善于通过网络资源进行学习；学生具有寻求认可的取向，能够主动积极地参与到学习中，学习具有主动性；学生更看重同伴关系（peer relationship），喜欢合作式的学习。
三、教学目标
根据本节教材的特点、课程标准对本节课的教学要求以及学生的认知水平，我确定了以下教学目标：
1.知识目标
从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义来判断、证明函数单调性的方法．
2.能力目标
通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象、类比的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．
3.情感目标
通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习
惯；让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．
四、教法学法分析
1.教法
本节课是函数单调性的起始课，根据教学内容、教学目标、学生的认知水平以及新课改的要求“学生是学习的主体，教师是学生学习的组织者、引导者、合作者”，主要采取教师启发式讲授，学生探究式学习的教学方法.教学过程中，根据教材提供的线索，安排适当的教学情境，让学生展示相应的数学思维过程，使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶段，引导学生独立自主地开展思维活动，深入探究，从而创造性地解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力.总之， 教师怎么教应当依据学生怎么学来确定。
2.学法
采用自主探索、合作交流的探究学习方式。让学生真正成为学习的主体，重视学生的参与性、探究性，引导学生体验成功的快乐，增强学生学习数学的兴趣与能力。同时在不断解决问题的过程中，发现新问题，通过合作解决问题，培养合作意识。
3．教学手段
教学中使用多媒体投影、PPT和几何画板来辅助教学，充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于让学生从问题的感性认识上升到问题的理性认识。
五、教学过程
为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为四个阶段：创设情境，引入课题；归纳探索，形成概念；掌握证法，适当延展；归纳小结，提高认识.具体过程如下：
(一)创设情境，引入课题
在课前，我给学生布置了两个任务：
(1) 由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.
(2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.
【总设计意图】概念的形成主要是通过对感性材料的抽象概括，通过提供北京奥运会的材料，让学生课下利用网络资源自主学习，查阅搜索有关北京奥运会
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