篇一：浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧
放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。 所谓放缩的技巧：即欲证，欲寻找一个（或多个）中间变量C，使，由A到C叫做“放”，由B到C叫做“缩”。
常用的放缩技巧还有：（1）若（2
）
（3）若则（4）
（5）（6
）或
（7）
等等。
用放缩法证明下列各题。
例1 求证：
证明：因为
所以左边因为99＜100（放大）
＜所以
例2 （2000年海南理11）若求证： 证明：因为所以因为［因为
大），所以又所以
是增函数］，所以（放，所以
例3 （2001年云南理1）求证： 证明：（因为）
［又因为（放大）］，所以
所以
例4 已知求证： 证明：因为
例5 求证： 证明：因为（因为）
（放大）所以
例6 （2000年湖南省会考）求证：当时，函数
的最小值是当时，函数的最大值是 证明：因为原函数配方得
又因为所以（缩小），所以
函数y的最小值是。当
所以
（放大），所以函数y的最大值是
例7 求证：
证明：因为成立。 （分母有理化）所以原不等式
例8 （2002年贵州省理21）若
求证：
证明：因为所以
可证（当且仅当时，取等号）。 而
所以同理例9 已知a、b、c分别是一个三角形的三边之长，求证： 证明：不妨设据三角形三边关系定理有：便得
所以原不等式成立。
例10 （1999年湖南省理16）求证： 证明：因为
又
所以原不等式成立。
例11 求证： 证明：因为左边
证毕。
例12 求证 证明：因为所以左边
注：1、放缩法的理论依据，是不等式的传递性，即若则。
2、使用放缩法时，“放”、“缩”都不要过头。3、放缩法是一种技巧性较强的不等变形，一般用于两边差别较大的不等式。常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”，都是用于不等式证明中局部放缩。
篇二：放缩法在不等式证明中的应用
放
缩
法
在
不
等
式
证
明
中
的
应
用
摘要
放缩法是不等式证明中一种很精细、很巧妙的证明方法，但是，如何快速、有效地进行放缩这是我们数学学习者必须要掌握的内容，以及如何灵活、适度地进行这是我们研究学习的重难点.
关键词：放缩法;不等式 ;证明 ;方式 ;目标 ;适度
Abstract
Scaling law is the inequalities in a very sophisticated and very clever that way, but how quickly, efficiently scaling this is our mathematics learners have to master the content, and how flexible, appropriate manner that is The weight of learning difficulties.
Key words: Scaling law;Inequality;Prove;Manner;Target;Moderation
目 录
第一章 引言···························1页
第二章 不等式的基本性质及其应用·················2页
2.1 不等式的传递性 ·····················2页
2.2 利用绝对值不等式的性质 ·················2页
2.3 利用均值不等式的性质 ··················3页
第三章 放缩法在不等式中的应用··················4页
3.1放缩的基本类型 ·····················4页
3.1.1舍添一些恒正或恒负的项 ···············4页
3.1.2 适当地将分式的分子（或分母）放大或缩小·······4页
3.1.3 利用基本不等式···················5页
3.1.4 利用函数的单调性··················5页
3.1.5 利用二项式定理进行适度地放缩············6页
3.2 放缩的目的 ·······················6页
3.2.1有利于约分 ·····················6页
3.2.2 有利于差分·····················7页
3.2.3 有利于消元·····················7页
3.2.4 有利于运用公式···················8页
第四章 如何进行适当地放缩····················9页
第五章 总结·························· 11页 参考文献 ··························· 12页 致谢
;
第一章 引言
不等式在数学学科中占有重要的地位，特别是不等式的证明，因此，学会灵活地运用其证明不等式是我们学习的重点，在不等式的证明中，我们往往遇到从直接给出的已知条件是很难以证明的，这时如果我们对式子进行放大或缩小，使问题发生相应的变化，这样就使问题得以解决，我们称这种方法为放缩法.清楚地说放缩法就是在证明不等式中，利用不等式的传递性，作相应的放大或缩小，证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明，放缩法的目的性很强，在利用放缩法中，其要求很高，在运用时必须要恰到好处，否则不能达到目的，至于放缩法适用于哪种不等式，这没有明确的规定，这需要我们在学习过程中认真总结、归纳.
第二章 不等式的基本性质及其应用
2.1 不等式的传递性：若A?B,B?C则A?C
我们常常说借别人的东西，就是借别人的东西来使用，在不等式的证明中我们也使用到，当我们不能直接证明A<C时，我们可以借助B，让它起到连接A和C的作用，我们可以先证存在B，使得证A<B,B<C,这样我们就得出A<C，这就是不等式的传性的运用
1?x?nx 例：已知x?0，n?N?且n?2，求证：???1
001nn1??xxc??x????cx证明：? ??cnnnnn
001?cnx?cx n
?1?nx
?1?x1?nx ???n
2.2 利用绝对值不等式的性质： ba?a 在数学证明里，证明两个数（式子）的大小方法很多，如作差法，作商法法，分析法等，当这些方法难以证明时，特别是在绝对值不等式中时，我们可以利用我们学过的绝对值不等式的性质进行证明.
2xx?x?10例：已知f?且x?a?1，求证：f x?f??1?????
22证明：f xf??x?10?a?a?? x?ax?a????
x?x?a??
x?a?1? x?a??1??
x?1?1??
篇三：浅谈用放缩法证明不等式
浅谈用放缩法证明不等式
山东省 许 晔
不等式的证明是中学数学教学的重点，也是学生接受时感到头痛的难点。不等式的证明方法很多。如：比较法（比差商法）、分析法、综合法、数学归纳法、反证法和放缩法等。限于篇幅，下面仅就用放缩法证明不等式的问题加以证明。
所谓放缩法，就是针对不等式的结构特征，运用不等式及有关的性质，对所证明的不等式的一边进行放大或缩小或两边放大缩小同时兼而进行，似达到证明结果的方法。但无论是放大还是缩小都要遵循不等式传递性法则，保证放大还是缩小的连续性，不能牵强附会，须做到步步有据。比如：证a＜b，可先证a＜h1，成立，而h1＜b又是可证的，故命题得证。
利用放缩法证明不等式，既要掌握放缩法的基本方法和技巧，又须熟练不等式的性质和其他证法。做到放大或缩小恰到好处，才有利于问题的解决。现举例说明用放缩法证明不等式的几种常用方法。
一、运用基本不等式来证明 ①求证：lg8·lg12＜1
证明：∵lg8＞0，lg12＞0，
而 lg96＜lg100=2 ∴lg8·lg12＜1.
说明：本题应用对数函数的单调性利用不等式平均值，不等式两次放大，使不等式获证。
说明：本题采用了与基本不等式结合进行放缩的有关解题技巧。
解：
∵a2b2≥2ab（当且仅当a=b时，等号成立） 同理a2+c2≥2ac（当且仅当a=c时，等号成立） b2＋c2≥2bc（当且仅当b=c时，等号成立）
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac（当且仅当a=b=c时，等号成立） ∵由已知可得a2+b2＋c2=ab＋bc＋ac，
说明：此题完全使用了不等式的基本性质便可解此题。 二、运用放大、缩小分母或分子的办法来达到放缩的目的
证明：
说明：本题观察数列的构成规律，采用通项放缩的技巧把一般数列转化成特殊数列，从而达到简化证题的目的。
证明：
本题说明采用了分别把各项的分母换成最大的2m或最小的m＋1的技巧。 ③求证：
证明：
本题说明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即放不能太宽、缩不能太窄，真正做到恰到好处。
④求证：
证明：
本题说明，此题采用了通项放缩，使放缩后能拆项相消的技巧。 ⑤若a、b、c为不全相等的非实数 求证：
证明：
∵a、c、b不全为零，上述三式不能全取等号， 相加得
说明：本题考虑到是齐次对称式，应用不舍弃非负项缩小的技巧。 ⑥求证：
证明：
当a＋b=0时，不等式显然成立。
当a＋b≠0时，∵0＜｜a＋b｜≤｜a｜+｜b｜，
即：左边≤右边.
说明：本题是运用了放大分母而缩小一个正分数的技巧。 三、放缩法在数学归纳法和数列中的应用
证明：当n=k+1时，则得
本题采用放缩法和数学归纳法相结合的解题方法。
《浅谈放缩法在不等式证明中的应用》
由：免费论文网互联网用户整理提供,链接地址：
http://m.csmayi.cn/show/71481.html
转载请保留,谢谢!
- 上一篇：迷人的秋天作文
- 下一篇：海底的植物作文50字