篇一：等差数列的性质教案
2.2.2等差数列的性质
教学设计
教学目标
1．知识与技能：理解和掌握等差数列的性质，能选择更方便快捷的解题方
法，了解等差数列与一次函数的关系。
2．过程方法及能力：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中体会类比思
想，数形结合思想，特殊到一般的思想并加深认识。
3．情感态度价值观：通过师生，生生的合作学习，增强学生团队协作能力
的培养，并引导学生从不同角度看问题，解决问题
教学重点：理解等差中项的概念，等差数列的性质，并用性质解决一些相
关问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。
教学难点：加深对等差数列性质的理解，学生在以后的学习过程能从不同
角度看问题，解决问题，学会研究问题的方法。
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教学方法：启发引导，讲练结合
学法：观察，分析，猜想，归纳
教具：多媒体
教学过程：
一、复习引入
首先回忆一下上节课所学主要内容：
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即an－an?1=d ，（n≥2，n∈N?），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d
2．等差数列的通项公式：
an?a1?(n?1)d (an?am?(n?m)d)
3．有几种方法可以计算公差d
① d=an－an?1 ② d=an?a1a?am ③ d=n n?1n?m
二、讲解新课：
问题：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？
由定义得A-a=b-A ，即：A?
反之，若A?a?b 2a?b，则A-a=b-A 2
a?b?a,b,由此可可得：A?2
a?b是a,A,b成等差数列的充要条件 2
定义：若a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b也就是说，A=
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末如数列：1，3，5，7，9，11，13?中
5是3和7的等差中项，1和99是7和11的等差中项，5和13看来，a2?a4?a1?a5,a4?a6?a3?a7
性质1：在等差数列?an?中，若m+n=p+q，则，am?an?ap?aq 即 m+n=p+q ?am?an?ap?aq (m, n, p, q ∈N )
证明：am?an?a1?(m?1)d?a1?(n?1)d?2a1?(n?m)d?2d,
ap?aq?a1?(p?1)d?a1?(q?1)d?2a1?(p?q)d?2d, ? am?an? ap?aq.
三．例题讲解。
例1在等差数列{an}中，若a1+a6=9, a4=7, 求a3 , a9 .
分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手??
解：∵ {an }是等差数列
∴ a1+a6=a4+a3 =9?a3=9－a4=9－7=2∴ d=a4－a3=7－2=5∴ a9=a4+(9－4)d=7+5*5=32∴ a3 =2, a9=32
例2 等差数列{an}中，a1+a3+a5=－12, 且 a1·a3·a5=80. 求通项 an
解：a1+a5=2a3
a1?a3?a5??12?3a3??12?a3??4??a1a5??20 ???a1a3a5?80a?a??85??1
?a1=－10, a5=2 或 a1=2, a5=－10
∵ d=a5?a1 ∴ d=3 或－3 5?1
∴ an=－10+3 (n－1) = 3n－ 13 或 an=2 －3 (n－1) = －3n+5 例3已知数列{an}的通项公式为an?pn?q，其中p,q为常数，那么这个
数列一定是等差数列吗？
分析：判定{an}是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看an?an?1(n?1)是不是一个与n无关的常数。
解：取数列{an}中的任意相邻两项an与an?1（n>1）,求差得，
an?an?1=(pn+q)-[p(n-1)+q]
=pn+q-(pn-p+q)
=p
它是一个与n无关的常数。所以{an}是等差数列。
思考
这个数列的首项和公差分别是多少？
探究
（1）在直角坐标系中，画出通项公式为an?3n?5的数列的图象，这个图象有什么特点？
（2）在同一直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说说等差数列an?pn?q的图象与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系？
四、巩固练习： 1.若等差数列的前三项依次是m1?1,65,1，求m的值。 mm
2.已知等差数列 {an}中，a2?a6?a10?1,求a3?a9。
五、小结 本节课学习了以下内容：
a?b?a,b,成等差数列 1．A?2
2．在等差数列中， m+n=p+q ?am?an?ap?aq (m, n, p, q ∈N )
3．若数列{an}的通项公式为an?pn?q的形式，p,q为常数，则此数列为等差数列。
六．布置作业
名师一号：8,9，11
探究：1.设 p, q 为常数，若数列 {an}，{bn}均为等差数列， 则数列{pan?qbn}，{akn},{kan}为等差数列 ，公差为多少？
2.若{an}是等差数列，公差为d.则ak,ak?m,ak?2m,?(k,m?N?)组成公差为md的等差数列。
篇二：等差数列的性质总结
1.等差数列的定义式：an?an?1
2．等差数列通项公式：
an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*) ， 首项:a1，公差:d，末项:an
a?am推广： an?am?(n?m)d．从而d?n； n?m
3．等差中项
（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A?
（2）等差中项：数列?an?是等差数列?2an?an-1?an?1(n?2,n?N+)?2an?1?an?an?2
4．等差数列的前n项和公式：
n(a1?an)n(n?1)d1Sn??na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 2222
（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）
特别地，当项数为奇数2n?1时，an?1是项数为2n+1的等差数列的中间项
S2n?1?a?b或2A?a?b 2等差数列性质总结 （n?2）； ?d（d为常数）?2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）
5．等差数列的判定方法
（1） 定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N?)? ?an?是等差数列．
（2） 等差中项：数列?an?是等差数列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2． ⑶数列?an?是等差数列?an?kn?b（其中k,b是常数）。
（4）数列?an?是等差数列?Sn?An2?Bn,（其中A、B是常数）。
6．等差数列的证明方法
定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N?)? ?an?是等差数列
等差中项性质法：2an?an-1?an?1(n?2，n?N?)．
7.提醒：
（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：
①一般可设通项an?a1?(n?1)d
②奇数个数成等差，可设为?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差为d）；
③偶数个数成等差，可设为?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（注意；公差为2d）
8.等差数列的性质：
（1）当公差d?0时，
等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；
n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是关于n的二次函数且常数项为0. 前n和Sn?na1?222
（2）若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，则为常数列。
（3）当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有am?an?2ap.
注：a1?an?a2?an?1?a3?an?2????，
（4）若?an?、?bn?为等差数列，则??an?b?，??1an??2bn?都为等差数列
(5) 若{an}是等差数列，则Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?也成等差数列
（6）数列{an}为等差数列,每隔k(k?N*)项取出一项(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍为等差数列
（7）设数列?an?是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和
。当项数为偶数2n时，
S奇?a1?a3?a5?????a2n?1?n?a1?a2n?1??nan 2
n?a2?a2n?S偶?a2?a4?a6?????a2n??nan?1 2
S偶?S奇?nan?1?nan?n?an?1?an??nd
S偶
S奇?nan?1an?1 ?nanan
。当项数为奇数2n?1时，则
?S偶n?S2n?1?S奇?S偶?(2n?1)an+1??S奇?(n?1)an+1 ?????S奇?S偶?an+1S奇n?1?S偶?nan+1???
（其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．
（8）{bn}的前n和分别为An、Bn，且
则An?f(n)， nan(2n?1)anA2n?1???f(2n?1). nn2n?1
（9）等差数列{an}的前n项和Sm?n，前m项和Sn?m，则前m+n项和Sm?n???m?n? an?m,am?n,则an?m?0
(10)求Sn的最值
法一：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n?N*。
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和
?a?0即当a1?0，d?0， 由?n可得Sn达到最大值时的n值． ?an?1?0
（2） “首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。
?an?0即 当a1?0，d?0， 由?可得Sn达到最小值时的n值． a?0?n?1
或求?an?中正负分界项
注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d的方程；
②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．
篇三：等差数列的性质以及常见题型
等差数列的性质以及常见题型
上课时间： 上课教师： 上课重点：掌握等差数列的常见题型，准确的运用等差数列的性质 上课规划：掌握等差数列的解题技巧和方法 一 等差数列的定义及应用 1.已知数列?a?的通项公式为a
n
n
??3n?2
，试问该数列是否为等差数列。
2.已知：
思考题型;已知数列?a?的通项公式为a
n
n
1
11,xyz,
成等差数列，求证：
y?zx
,
z?xy
,
x?yz
也成等差数列。
n
?pn
2
?qn（
p,q?R,
且p,q为常数）。
（1)当p和q满足什么条件时，数列?a?是等差数列？ （2)求证：对于任意实数p和q，数列?a
n?1
?an?是等差数列。
二等差数列的性质考察 （一）熟用a
n
?a1?(n?1)d?am?(n?m)d
，d
?
an?amn?m
问题
（注意：知道等差数列中的任意项和公差就可以求通项公式） 1、等差数列?a?中，a2、等差数列?a?中，a
nn
n
3
?50
，a
5
?30
2
3
?a5?24
2
，a
，则a??3，则a?9
6
3
3、已知等差数列?a?中，a则a
n
与a6
的等差中项为5，a
与a7的等差中项为7
，
?
15
25
35
4、一个等差数列中a= 33，a= 66，则a=________________． 5、已知等差数列?a?中，a
n
p
?q
，a
q
?p
，则a
p?q
?____
．
（二)公差d的巧用 （注意：等差数列的项数）
1、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差等于_____ 2、等差数列a,a
1
2
,a3,?,an
的公差为d，则数列5a,5a
1
2
,5a3,?,5an
是（ ）
A．公差为d的等差数列B．公差为5d的等差数列 C．非等差数列 D．以上都不对 3、等差数列{a}中，已知公差d
n
?
12
，且a
1
?a3???a99?60
，则a
1
?a2???a100?
A．170 B．150C．145 D．120
4.已知x?y，且两个数列x,a,a,???a,y与x,b,b,???b,y各自都成等差数列，
1
2
m
1
2
n
则A
a2?a1b2?b1mn
等于 （ ）
m?1n?1
B C
nm
D
n?1m?1
5.一个首项为23，公差为整数的等差数列中，前6项均为正数，从第7项起为负数，则公差d为（ ）
A -2 B -3C -4 D -5
（三）m?n
?s?t?am?an?as?at性质的应用
（注意：角标的数字） 1. 等差数列?a?中，若a
n
3
?a4?a5?a6?a7?450
，则a
10
2
?a8?_____
。
2.等差数列?a?中，若a
n
4
?a5?a6?a7?450?20
，则S
?_____
。
3.等差数列?a?中，若S
n
13
。则a，则S
7
?_______
。 。
。
4.等差数列?a?中，若a
n
11
?10
21
?_______
5.在等差数列?a?中a
n
3
?a11?40
，则a
4
?a5?a6?a7?a8?a9?a10?_______
6.等差数列?a?中, a
n
n
1
?a2?a3??24,a18?a19?a20?78,则S20?_____
?a5?12
。
7.在等差数列?a?中，a
n
4
，那么它的前8项和S等于_______。
8
8.如果等差数列?a?中，a
n
3
?a4?a5?12
，那么a
1
?a2???a7?_______
。
9.在等差数列?a?中，已知a
n
1
?a2?a3?a4?a5?20
，那么a等于_______。
3
10.等差数列?a?中,它的前5项和为34,最后5项和146,所有项和为234,则
a7?_______
.
11.已知数列｛an｝的前n项和Sn=n2+3n+1，则a1+a3+a5+…+a21=_______。 12.｛an｝为等差数列，a1+ a2+ a3=15，an+ an-1+ a n-2=78，Sn=155，则n= _______。 （四）方程思想的运用
（注意：联立方程解方程的思想）
1.已知等差数列{an}中，S3=21，S6=24，求数列{an}的前n项和S
n
2. 已知等差数列{an}中，a
3
a7??16
,a
4
?a6?0
,求数列{an}的前n项和S
n
（五)S
n
,S2n?Sn,S3n?S2n也成等差数列的应用
1、等差数列前m项和是30，前2m项和是100，则它的前3m项和_______。 2、等差数列{an}的前n项的和为40，前2n项的和为120，求它的前3n项的和为_______。 3.已知等差数列{an}中，S4.已知等差数列{an}中，a
3
?4,S9?12, 求S15
的值.
的值
1
?a2?a3?2,a4?a5?a6?4,则a16?a17?a18
5.a1，a2 ， a3，…… a2n+1 为 等差数列，奇数项和为60，偶数项的和为45，求该数列的项数.
6.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有_______。
7.在等差数列{an}中，S4＝1，S8＝3，则a17＋a18＋a19＋a20的值是_______。 (六）a
n
n
?
S2n?12n?1
n
的运用
*
1.设S和T分别为两个等差数列?a?,?b?的前n项和，若对任意n?N，都有
n
n
SnTn
?
7n?14n?27
，则
a11b11
= ________ 。
*
2.设S和T分别为两个等差数列?a?,?b?的前n项和，若对任意n?N，都有
n
n
nn
snTn
=
3n?14n?3
，则
a7b7
= ________ 。
n
n
n
n
n
T，3.有两个等差数列?a?，其前n项和分别为S，若对n?N有S?b?，
?
Tn
?
7n?22n?3
成立，求
n
a5b5
=（）。
n
（七）a与S的关系问题; 1.数列?a?的前n项和S
n
n
＝3n?n
2
2
，则a＝___________
n
2.数列?a?的前n项和S
nn
n
＝n?n?1，则an
2
＝___________
3.数列?a?的前n项和S＝n?2n，则a＝___________
n
n
4.数列?a?的前n项和S＝3n
n
n
2
?4n
，则a＝___________
n
5.数列?a?的前n项和S
n
n
＝2?1，则an
n
＝___________
6.数列{4n?2}的前n项和S
n
＝______. ＝______.
2
7. 数列{?4n?8}的前n项和S
n
n
n
8. 数列{a}的前n项和S＝8n（八）巧设问题；
-10.则an?______
一般情况,三个数成等差数列可设:a?d,a,a?d;四个数成等差数列可设:a?3d,a?d,a?d,a?3d.
1.三个数成等差数列,和为18,积为66,求这三个数.
2.三个数成等差数列,和为18,平方和为126,求这三个数.
3.四个数成等差数列,和为26,第二个数和第三个数的积为40,求这四个数.
4.四个数成等差数列,中间两个数的和为13,首末两个数的积为22,求这四个数.
《等差数列的性质》
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