篇一：第27讲 取整问题
第27讲 整取问题
内容概述
有时我们只关心某数的整数部分，于是我们就有了取整问题，如在抽屉原理里,在不定方程里等一些数论问题中．
我们规定[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x-[x]，即为x的小数或真分数部分．
如[3.14]=3，{3.14}=0.14， 显然有{x}<1．
O≤{x}+{y}<2(x、y均为整数时等号才成立)．
典型问题
2．求??1981?1??1981?2??1981?2005??1981?2006?的和． ??...?????????2006200620062006????????
【分析与解】 我们知道如果直接求解是无法解出的，现在试着观察规律:
最后一项为1981不难得到，再看??1981?1??1981?2005?1981?1?1981?1??1981?1?+?；=?+?? ???2006?2006??2006??2006??2006?
1981?2005?1981?2005??1981?2005?=?+?? ?200620062006????
所以有 1981?11981?2005?1981?1??1981?1??1981?2005??1981?2005?+=1981=?+?+?? ?+???20062006?2006??2006??2006??2006?=??1981?1??1981?2005??1981?1??1981?2005?+?+?? ?+????2006??2006??2006??2006?
因为 ??1981?1??1981?2005?+?的和为整数, ??20062006????
所以 ??1981?1??1981?2005??的和也为整数,但是我们知道0≤{x}+{y}<2；在此题中显然≠?+??2006??2006?0，所以??1981?1??1981?2005??=1 ?+?20062006????
?1981?1??1981?2005?+?=1981-1=1980； ???2006??2006?于是?
这样，我们就找到了一般规律，我们知道原式除了最后一项，还有2005项，于是有1002组和?1981?1003?=990； ??2006??
所以为1002×1980+990+1981=1986931．
4．解方程[x]{x}+x=2{x}+10
【分析与解】 我们注意到x不超过10，x不能小于5；
所以当[x]=5，6，7，8，9，10的时候我们分别计算小数部分{x}
当[x]=5时，有5{x}+5+{x}=2{x}+10；则4{x}=5，{x}>1，不满足；
4； 5
1当[x]=7时，有7{x}+7+{x}=2{x}+10；则 6{x}=3，{x}=； 2
2当[x]=8时，有8{x}+8+{x}=2{x}+10；则7{x}=2，{x}=； 7
1当[x]=9时，有9{x}+9+{x}=2{x}+10；则8{x}=1，{x}=； 8
当[x]=10时，有10{x}+10+{x}=2{x}+10；则 9{x}=0，{x}=0．
4121所以有x=6，7，8，9，10． 5278当[x]=6时，有6{x}+6+{x}=2{x}+10；则5{x}=4，{x}=
6．r满足?r??
?19??20??21?91??=546．求[100r]的值? ?r??r??...?r????????100??100??100??100?19、100【分析与解】 显然等式的左边有91-19+1=73项，每项值为[r]或[r+1]，这是因为：
2091、…、均小于l， 100100
又由于73×7< 546 <73×8，为使和数为546，则[r]=7，
则设有t个[r+x]值为7，于是，7×t+8×(73-t)=546, 100
解得t=38．
所以有38项整数部分为7．
19?38?156<8，即 r+<8． 100100
19?3857 r+≥8，即 r+≥8 100100
56 于是，100[r+]<8×100． 100
100r+56<800，100r<744；100r+57≥800，100r≥743．
于是，[100r]=743 即：r+
篇二：取整函数1
关于[x]以及{x}的性质与应用
摘 要：[x]和{x}是非常重要的数论函数,其他许多数学分支都要涉及到，在国内外的数学竞赛中也经常出现含有[x]和{x}的问题,这类问题新颖独特,颇具启发性。本文主要讨论[x]以及{x}的性质，和[x]以及{x}在数学中的应用，以及[x]以及{x}在数学竞赛中的应用。
关键词： 取整函数；小数函数；性质；应用；例题
Abstract ：[x] and {x} are the extremely important arithmetical functions, other many mathematics branch all must involve, also frequently appears in the domestic and foreign mathematics competition includes [x] and the {x} question, this kind of question novel unique, quite has the instructive.This article mainly discusses [x] as well as the {x} nature, with [x] as well as {x} in mathematical analysis application, as well as [x] as well as {x} in mathematics competition application.
Key words： Integer function Decimal functionNature Application Sample question
关于[x]以及{x}的性质与应用
目录
1、引言 ......................................................... - 1 -
2、[x]以及{x}的定义 ............................................. - 1 -
2.1、取整函数[x]的定义 .......................................... - 1 -
2.2、小数函数{x}的定义 .......................................... - 3 -
3、取整函数[x]的基本性质及证明 .................................. - 3 -
4、取整函数[x]以及小数函数{x}的图像及其性质 ..................... - 5 -
5、取整函数[x]以及小数函数{x}在解题中的应用 ..................... - 6 -
5.1、取整函数[x]一些基本性质的应用 .............................. - 6 -
5.2、数学竞赛中用多种方法解决取整函数 ........................... - 7 -
5.3、取整函数[x]在极限、积分、导数、级数中的应用例题 ........... - 11 -
6、回答引言提出的问题 .......................................... - 13 -
7、总结 ........................................................ - 14 - 参考文献 ....................................................... - 15 - 致 谢 ....................................................... - 16 -
1、引言
某市电信局130手机与137、138、139手机有不同是收费方式。137、138、139手机的收费方式为：月租费50元，基本通话费0.40元/分钟，不足一分钟按一分钟计算。130手机的收费方式为：没有月租费，但是基本通话费为0.54元/分钟，不足一分钟也按一分钟计算。小明今购了一部手机，他每月通话的时间大约20小时，请帮他参考一下，选用哪种收费方式的手机网络合算？
我们可以用取整函数解决这个问题，那什么是取整函数呢？
我们在学习数学的过程中，常常看到取整函数的身影，在离散数学、微积分、数学分析中都有取整函数的应用，纵观几年的数学竞赛，发现了取整函数也是数学竞赛的热点之一。然而含有取整函数的题目往往比较困难，要解决关于取整函数的问题我们就要好好了解取整函数，什么是取整函数，它有什么性质，它的应用有哪些。
2、[x]以及{x}的定义
2.1、取整函数[x]的定义 [1]
函数y?[x]，称为高斯函数，又称取整函数。
给定实数x，我们可以对它进行一种特殊的运算—取整运算，即取出不超过x的最大整数部分，通常记为[x]，[x]满足下面的三个条件：
(1) [x]是整数；(2) [x]? x ; (3) x < [x]+1。
这就是说，整数[x]不超过x，而由（3）可知，大于[x]的整数[x]+1，[x]+2，??都大于x，即[x]是不超过x的最大整数。
x与[x]之间适合x-1< [x] ? x <[x]+1
例如：[6]=6,[3.2]=3，
，[-4]=-4，[-0.1]=-1，[-3.5]=-4。
对于较小的x，我们不难求[x]。但是对较大的x，求[x]的基本方法还是回到
篇三：小学六年级奥数工程问题,取整问题,列方程解应用题
第一讲 工程问题
1、一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？
解：
由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的工作量 （1/4+1/5）×2＝9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。 根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。
所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小时的工作量。
1/10÷2＝1/20表示乙的工作效率。
1÷1/20＝20小时表示乙单独完成需要20小时。
答：乙单独完成需要20小时。
4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？
解：由题意可知
1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲＝1
1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5＝1
（1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否则第二种做法就不比第一种多0.5天）
1/甲＝1/乙+1/甲×0.5（因为前面的工作量都相等）
得到1/甲＝1/乙×2
又因为1/乙＝1/17
所以1/甲＝2/17，甲等于17÷2＝8.5天
5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个？
答案为300个
120÷（4/5÷2）＝300个
可以这样想：师傅第一次完成了1/2，第二次也是1/2，两次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了4/5，可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5，刚好是120个。
7．一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？
答案45分钟。
1÷（1/20+1/30）＝12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。
1/12*（18-12）＝1/12*6＝1/2 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟的水，也就是甲18分钟进的水。
1/2÷18＝1/36 表示甲每分钟进水
最后就是1÷（1/20-1/36）＝45分钟。
8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？
答案为6天
解：
由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，”可知：
乙做3天的工作量＝甲2天的工作量
即：甲乙的工作效率比是3：2
甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3
时间比的差是1份
实际时间的差是3天
所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲的时间，也就是规定日期
方程方法：
[1/x+1/（x+2）]×2+1/（x+2）×（x-2）＝1
解得x＝6
第二讲比和问题，
1、小强买了一件上衣和两条裤子，小明买了同样价钱的上衣和裤子各一件，他们用去的钱数之比是4:3，已知一件上衣7元，求裤子的价钱。
2、甲乙两车由A、B两地同时出发相向而行，甲乙两车速度之比是2:3，已知甲走完全程1用5小时，问两车多久后相遇 2
第三讲 列方程解应用题
1、甲乙共有图书63册，乙丙共有图书77册，三人中图书最多的人所拥有的图书是图书最少的人的书的两倍，问甲乙丙三人各有多少本书。
2、体育用品商店购进50个足球，40个篮球，共3000元，零售时，足球加价9%，篮球加价11%，全部卖出后利润298元，问，每个足球篮球进价各多少元
3、王虎用1元钱买了油菜籽、西红柿籽共100包，油菜籽3分钱一包，西红柿籽4分钱一包，萝卜籽1分钱7包，问王虎买进油菜籽，西红柿籽和萝卜籽各多少包？
第四讲 关于取整计算
1、求1～1993中可被2或3或5整除的整数的个数。
2、2．求下式约简后的分母：
500个6
3、求下式约简后的分母： 1?2?3????999?10006?6??12345699100??????……×? 66 2 6 2 6 2 2
《取整问题》
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