篇一：用微积分推导匀速圆周运动向心力公式
用微积分推导匀速圆周运动向心力公式
已知如图所示，建立如
图所示平面直角坐标系，其中物体做圆周运动的轨迹方程为x2+y2=R2，即圆周半径为R。设t为所经历的时间，当t=0时，物体位于坐标（R，0）点，并且逆时针运动。设匀速圆周运动的速率为v，设物体质量为m，受到的向心力为F。当时间为t时，物体和圆心的连线与x轴正方向的夹角为θ，设周期为T， 则??2?t
T
在x轴方向，物体所受的分力为
Fx??Fcos2?tT
所以，x方向的加速度为
ax??Fmcos2?t
T
为两边对t求积分得
vx?
??
??
????FmFmFmcos2?tTdtdt?cos?T2?2?tT?cos2?t
T2?tT?Cxd2?T tFT2?msin
得其中，Cx与t无关，由已知条件得，当t=0时，vx=0 代入上式得Cx=0
?当时间为t时，x轴方向的分速度为
vx??FT2?msin2?t
T
在y轴方向，物体所受到的分力为
Fy?Fsin2?tT
所以，物体在y轴方向的加速度为
ay?Fmsin2?t
T
两边对t求积分得
vy?
?
?FmF
m?mT2?Fsin2?tTdtdt?sin?2?tT?sin
cos2?tTTd2?T t??FT
2?m2?t?C
其中C与t无关，由已知条件得，当t=0时，vy=v 代入上式得
C?FT
2?m?v
FTcos2?t
T?FT
2?m ?v?vy??
222?m2?v?vx?vy
?v?2FT
22224?msin22?t
T?(?FT
2?mcos2?t
T?FT
2?m?v)2
经化简可得
FT
2?m?v?cos
2?t
T2?tT(FT2?m?v) 由于cos为变量
?v?0所以只能FT
2?m
移项，两边求平方得
v?2FT
22224?m,由于T?
F22?Rv24?R
22
代入得v?
化简可得F?2v224?mmv
R2
即向心力表达式
篇二：专题 向心力公式的综合应用
课后梯级演练
A级 基础巩固题
1．(2011·宣城高一检测)如图所示，在光滑的轨道上，小球滑下经过圆弧部分的最高点A时，恰好不脱离轨道，此时小球受到的作用力是(
)
A．重力、弹力和向心力 B．重力和弹力 C．重力和向心力 D．重力 答案：D
v2
解析：小球过最高点A时，由于恰好不脱离轨道，则有mg＝mr与轨道恰无压力，故小球只受重力，故D对，A、B、C都错．
2．如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动．现给小球一初速度，使它做圆周运动．图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是( )
A．a处为拉力，b处为拉力 B．a处为拉力，b处为推力 C．a处为推力，b处为拉力 D．a处为推力，b处为推力 分析：解答本题时应把握以下两点：
(1)小球在最高点时杆的弹力有三种可能情况． (2)小球在最低点时球的向心力来源． 答案：AB
解析：本题考查在竖直平面内做圆周运动的物体在最高点、最低点时向心力问题的分析．分析受力和寻找向心力的来源是处理圆周运动问题的关键．在a处受到竖直向下的重力，因此a处一定受到杆的拉力，因为小球在最低点时所需向心力沿杆由a指向圆心O，向心力是杆对球的拉力和重力的合力．小球在最高点b时杆对球的作用力有三种情况：
(1)杆对球恰好没有作用力，这时小球所受的重力提供向心力，设此时mv2临
小球速度为v临，由mg＝Rv临＝Rg.
(2)当小球在b点，速度v>v临时，杆对小球有向下的拉力． (3)当小球在b点，速度0<v<v临时，杆对小球有向上的推力． 3．质量为m的物体沿半径为R的半球形金属壳滑到最低点时的速度大小为v，如图所示．若物体与球壳间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时(
)
v2
A．向心加速度为R2
B．向心力为m(g＋RC．摩擦力为μmg v2
D．对球壳的压力为mR 答案：A
解析：本题考查了做圆周运动的物体的受力情况，小球在最低点受力v2v2
为N－mg＝mRN＝mg＋mRD错，B错；由f＝μN得f＝μ(mg＋v2v2v2
mR)，C错；向心加速度由F＝mRma，可得a＝RA正确．
4．半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一个小物体m，如图所示．今给它一个水平的初速度v0＝gR，则物体将(
)
A．沿球面下滑至M点
B．先沿球面至某点N，再离开球面做斜下抛运动 C．按半径大于R的新的圆弧轨道运动 D．立即离开半球做平抛运动 答案：D
解析：小物体在半球面的顶点，若是能沿球面下滑，则它受到的半球
2mv0
面的弹力与重力的合力提供向心力，有mg－FN＝RFN＝0，这说
明小物体与半球面之间无相互作用力，小物体只受重力的作用，又有水平
初速度，小物体将做平抛运动．
5.
(2008·高考广东物理卷)有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为l的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘．转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动，当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．
答案：ω＝
gtanθ
r＋lsinθ
解析：由向心力公式F＝mω2r得mgtanθ＝mω2(r＋lsinθ)，则ω＝ gtanθ
r＋lsin
θ
B级 能力提高题
6.
(2011·临沂高一检测)质量为m的小球在竖直平面内的圆管轨道内运
动，小球的直径略小于圆管的直径，如图所示．已知小球以速度v通过最v
高点时对圆管的外壁的压力恰好为mg，则小球以速度通过圆管的最高点
2时( )
A．小球对圆管的内、外壁均无压力 mg
B．小球对圆管的外壁压力等于2C．小球对圆管的内壁压力等于
2
D．小球对圆管的内壁压力等于mg 答案：C
解析：依题意，小球以速度v通过最高点时，由牛顿第二定律得2mgv2＝mR①
v
令小球以速度N，有mg＋N
2?v/2?2＝mr
mg
由①②式解得N＝－
2
上式表明，小球受到向上的支持力，由牛顿第三定律知小球对圆管内mg
壁有向下的压力，大小为.选项C正确．
2
7．(2011·大同高一检测)在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量
篇三：高中物理公式推导(匀速圆周运动向心加速度、向心力)
高中物理公式推导二 圆周运动向心加速度的推导
1、作图分析：
t如图所示，在0、t时刻的速度位置为：
2、推导过程：
第一，对于匀速圆周运动而言，速度的大小是不发生变化的，变化的只是速度的方向，如图所示，速度方向的变化量为
?v
，则有：
?v?v???v??0t
第二，根据加速度的定义：
a?
则有：
?v?t
?
an?
?v?t???t
v0???tvR
第三，根据圆周运动的相关关系知：
??
?
是故，圆周运动的向心加速度为：
an?
v
2
R
第四，圆周运动的向心力的大小为：
F?man?m
v
2
R
3、意外收获：
第一，对于圆周运动，我们应该理解速度、角速度、周期之间的关系。具体为：
??
vR
2?T 2?R
v
??
??
第二，我们应该掌握极限的相关知识，合理利用极限来解决相关问题。
第三，如果我们谈论的不是匀速圆周运动，我们同样可以利用此方法进行谈论。对于非匀速圆周运动（或者叫做曲线运动），不仅速度的方向发生了变化，而且速度的大小也发生了变化，所以， 不仅有向心加速度之外，应该也有使物体速度大小变化的加速度。但是，在这种情况下，我们的向心加速度，叫做径向加速度，速度大小变化的加速度，叫做切向加速度。故有：
（1）向心加速度为：
an?
（2）切向加速度为：
v
2
R
at?
?v?t
（注意：这里的图上的
?v
是指切向速度方向速度的变化量，并不是指
?v
。）
4、注意事项：
对于匀速圆周运动而言，需要掌握的知识点并不是很多，我们只要能够理解一些物理量之间的基本关系即可。本篇的讨论只为学有余力的高中学生推荐，不过，物理推导讲究的是方法，并不是死记硬背公式，掌握了这一知识点的推导过程对以后了解其他物理知识会有很大的帮助。
《向心力公式》
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