篇一：三角形中的边角关系
三角形基础知识
说明：△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，p为三角形周长的一半，r为内切圆半径，R为外接圆半径，）ha，hb，hc分别为a，b，c边上的高S△ABC表示面积。
1．三角形的定义：三条线段首尾顺次连结所组成的图形，其中各条线段叫做三角形的边，每两条边组成的角叫做三角形的内角（简称三角形的角）．
2．三角形的元素：三角形的边、角、中线、高线、角平分线、周长、面积等都叫三角
形的元素．
3．确定三角形的条件：在三角形的元素中，边和角叫做三角形的基本元素，其中角确定三角形的形状（定形），边确定三角形的大小（定量），三角形具有稳定性．确定三角形的条件是：已知三角形的三边（SSS）或两边及其夹角（SAS）或两角及其公共边（ASA）或两角与其中一角的对边（AAS），这也是判断两个三角形全等的主要方法，全等三角形的对应元素都相等．只知三角形的三角大小，不能确定三角形，具有相同大小的三个角的两个三角形是相似关系．
4．三角形的“线”与“心”：
（1）高线、垂心．
（2）中线、重心及其的性质、坐标公式、向量公式及其物理意义、中线长定理．
（3）中垂线、外接圆、外心．
（4）内角平分线、内切圆、内心、内角平分线定理．
（5）外角平分线、旁切圆、旁心、外角平分线定理．
（6）中位线、中位线定理、中点三角形及其性质．
5．三角形的分类：
（1）按边的相等情况分：三边不等的三角形、等腰三角形、等边三角形。
（2）按最大角的情况分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
6．等腰三角形的判定与性质、四线合一
7．等边三角形的判定与性质、四心合一（中心）
8．三角形元素之间的关系：
（1）角与角的关系：
①内角和定理、
②外角定理
③角的性质：范围、关系．
④最大角、最小角．
⑤锐角三角形中任两角的和
（2）边与边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．（“三胞胎”）
（3）边与角的关系：（“三胞胎”）
①对边与对角的大小关系：在三角形中，大边所对的角也较大，相等两边所对的角也相等，反之也真．
②正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比都相等，都等于该三角形外接圆的直径．
③余弦定理：在一个三角形中，任何一边的平方都等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的二倍．
④射影定理：在一个三角形中，任何两边在第三边上的射影之和都等于第三边．
（4）直角三角形的性质：
①勾股定理
②两个锐角的关系
③锐角的三角函数（边与角的联系）．
④含30o角的直角三角形的性质
⑤斜边上的中线长等于斜边长的一半．
9．解三角形：根据三角形中已知的元素求其它未知的元素，叫解三角形．
10．三角形面积公式：
（1）S?ABC?111aha?bhb?chc 222
111absinC?acsinB?bcsinA 222?
a2sinBsinCb2sinAsinCc2sinAsinB??? 2sinA2sinB2sinC
?2R2sinAsinBsinC ?Rr(sinA?sinB?
sinC)
abc ?pr． 4R?
（2）若AB?(x1,y1),AC?(x2,y2)，则S?ABC?|x1x2?y1y2|．
（3）若AB?c,AC?b，则S
?ABC?
1．正弦定理：． abc???2R(R为△ABC外接圆半径）。 sinAsinBsinC
2222222．余弦定理：a?b?c?2bccosA；b?a?c?2accosB；
c2?a2?b2?2abcosC
3．射影定理：a?bcosC?ccosB；b?acosC?ccosA； c?acosB?bcosA。
3．三角形中三角函数的关系：由A?B?C??，可得。
（1）sin(A?B)?sinC，?? ；cos(A?B)??cosC，?? ；
(?B)??tanC?? ；tanA
（2）sin(A?BCA?BC)?cos?? ；cos()?sin?? ； 2222
tan
A?BC)??ta??。 22
篇二：三角形的边角之间的关系
三角形的边角之间关系
（1）三角形三内角和等于180°（在球面上，三角形内角之和大于180°）；
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；
（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.
（6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.
（7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.
（8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等.
（9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
（10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
（11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。
（12）三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。注意: ①三角形的内心、重心都在三角形的内部
. ②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。
③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。）
④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。
三角形相关定理
重心定理
三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．上述交点叫做三角形的重心.
外心定理
三角形的三边的垂直平分线交于一点．
这点叫做三角形的外心.
垂心定理
三角形的三条高交于一点．
这点叫做三角形的垂心.
内心定理
三角形的三内角平分线交于一点．
这点叫做三角形的内心.
旁心定理
三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．
它们都是三角形的重要相关点．
中位线定理
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
三边关系定理
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
勾股定理
在Rt三角形ABC中，A≤90度，则
AB·AB+AC·AC=BC·BC
梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
证明：
过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,
则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。
三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1
它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。
塞瓦定理
设O是△ABC内任意一点，
AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
证法简介
（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：
∵△ADC被直线BOE所截，
∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①
而由△ABD被直线COF所截，∴ BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②
②÷①:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，
根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/
[(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
莫利定理
将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。
篇三：三角形中的边角关系教案
《14.1 三角形中的边角关系》第一课时 教学案例
一、内容分析：
三角形是最简单的多边形，是研究其他图形的基础。本节课是在学生已学过了一些三角形的基础上，进一步系统的研究它的概念、分类、性质和应用。 二、学情分析：
虽然学生已在小学阶段及日常生活中了解了不少有关三角形的知识，但却偏重于感性认识，且缺乏系统化。故教学时应从学生熟悉的事物入手，创设情境，调动学生的学习积极性，积极进行观察、操作、猜想、验证，主动探究解决问题。 三、教学目标：
1、了解三角形的概念，会对三角形按边的关系进行分类，并会用符号语言表示三角形；
2、理解三角形中三边之间的关系，并运用它解决一些简单的问题； 3、经历观察、猜想、操作、实验、验证等数学活动，感受数学活动中的创造性，体验探究的乐趣。 四、教学中的重、难点及处理：
1、重点：理解三角形三边之间的关系，了解三角形的分类思想。 2、难点：探究三角形三边之间的关系。
3、处理：结合多媒体课件，揭示图形特点，通过观察、操作、合作交流，结合“两点之间，线段最短”原理，验证猜想。 五、教学准备：
1、教师准备：制作多媒体课件。2、学生准备：笔、刻度尺。
七、教学设计说明：
本节课为突出新知，结合几何图形具有多变性的特点，充分利用多媒体课件，创设了丰富的教学情境，给学生提供了多次的操作、交流的探究
活动机会，关注学困生、学优生设置不同难度的问题情境，力争让全体学生积极、主动的参与到学习中进行观察、操作、交流、归纳、验证、应用等数学活动。
《三角形边的关系》
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