双精度浮点性能

时间：2017-05-11 07:04 来源：免费论文网

篇一：单双精度浮点数的IEEE标准格式

单双精度浮点数的IEEE标准格式

目前大多数高级语言（包括C）都按照IEEE-754标准来规定浮点数的存储格式，IEEE754规定，单精度浮点数用4字节存储，双精度浮点数用 8字节存储，分为三个部分：符号位、阶和尾数。阶即指数，尾数即有效小数位数。单精度格式阶占8位，尾数占24位，符号位1位，双精度则为11为阶，53 位尾数和1位符号位，如下图所示：

31 3023 22 0

63 6252 51 0

细心的人会发现，单双精度各部分所占字节数量比实际存储格式都了一位，的确是这样，事实是，尾数部分包括了一位隐藏位，允许只存储23位就可以表示24位尾数，默认的1位是规格化浮点数的第一位，当规格化一个浮点数时，总是调整它使其值大于等于1而小于2，亦即个位总是为1。例如1100B，对其规格化的结果为1.1乘以2的三次方，但个位1并不存储在23位尾数部分内，这个1是默认位。

阶以移码的形式存储。对于单精度浮点数，偏移量为127（7FH），而双精度的偏移量为1023（3FFH）。存储浮点数的阶码之前，偏移量要先加到阶码上。前面例子中，阶为2的三次方，在单精度浮点数中，移码后的结果为127+3即130（82H），双精度为1026（402H）。

浮点数有两个例外。数0.0存储为全零。无限大数的阶码存储为全1，尾数部分全零。符号位指示正无穷或者负无穷。

下面举几个例子：

所有字节在内存中的排列顺序，intel的cpu按little endian顺序，motorola的cpu按big endian顺序排列。

IEEE754标准的一个规格化 32位浮点数x的真值可表示为

x=（-1）^S*（1.M）*2^（E-127） e=E－127

3130 23 0

｜S ｜E｜ M ｜

[例1]若浮点数x的754标准存储格式为（41360000）16，求其浮点数的十进制数值。

解：将16进制展开后，可得二进制数格式为

0 100，0001，0 011，0110，0000，0000，0000，0000

S E M

指数e=100，0001，0－01111111=00000011=（3）10

包含隐藏位1的尾数1.M=1.011，0110，0000，0000，0000，0000

于是有 x=（-1）^0*（1.M）*2^（E-127）

=+（1.011011）2*2^3

=（11.375）10

[例2]将数（20.59375）10转化为754标准的32位浮点数的二进制存储格式。解：首先分别将整数部分和小数部分转换成二进制

（20.59375）10=+（10100.10011）2

然后移动小数点使其在1，2位之间

10100.10011=1.010010011*2^4 e=4

于是得到：S=0，E=e+127=131，M=010010011

最后得到32位浮点数的二进制存储格式为

0 100，0001，1 010，0100，1100，0000，0000，0000

=（41A4C000）16

从存储结构和算法上来讲，double和float是一样的，不一样的地方仅仅是float是32位的，double是64位的，所以double能存储更高的精度。

任何数据在内存中都是以二进制（0或1）顺序存储的，每一个1或0被称为1位，而在x86CPU上一个字节是8位。比如一个16位（2字节）的 short int型变量的值是1000，那么它的二进制表达就是：00000011 11101000。由于Intel CPU的架构原因，它是按字节倒序存储的，那么就因该是这样：11101000 00000011，这就是定点数1000在内存中的结构。

目前C/C++编译器标准都遵照IEEE制定的浮点数表示法来进行float,double运算。这种结构是一种科学计数法，用符号、指数和尾数来表示，底数定为2——即把一个浮点数表示为尾数乘以2的指数次方再添上符号。下面是具体的规格：

````````符号位阶码尾数长度

float 1 8 2332

double1 11 5264

临时数1 15 6480

由于通常C编译器默认浮点数是double型的，下面以double为例：

共计64位，折合8字节。由最高到最低位分别是第63、62、61、……、0位：

最高位63位是符号位，1表示该数为负，0正；

62-52位，一共11位是指数位；

51-0位，一共52位是尾数位。

按照IEEE浮点数表示法，下面将把double型浮点数38414.4转换为十六进制代码。把整数部和小数部分开处理:整数部直接化十六进制：960E。小数的处理:

0.4=0.5*0+0.25*1+0.125*1+0.0625*0+……

实际上这永远算不完！这就是著名的浮点数精度问题。所以直到加上前面的整数部分算够53位就行了（隐藏位技术：最高位的1不写入内存）。

如果你够耐心，手工算到53位那么因该是：

38414.4(10)=1001011000001110.0110101010101010101010101010101010101(2)

(注：实际上我也没算到那么位，这个也只是意思一下，所谓的55 55 55 55 CD C1 E2 40 对应却是38414.4166666666642……)科学记数法为：1.001……乘以2的15次方。指数为15！于是来看阶码，一共11位，可以表示范围是-1024 ~ 1023。因为指数可以为负，为了便于计算，规定都先加上1023，在这里，15+1023=1038。二进制表示为：100 00001110 符号位：正—— 0 ！

合在一起（尾数二进制最高位的1不要）：

01000000 11100010 11000001 11001101 01010101 01010101 01010101 01010101

篇二：单双精度概念

单精度浮点数在机内占4个字节，用32位二进制描述。

双精度浮点数在机内占8个字节，用64位二进制描述。

浮点数在机内用指数型式表示，分解为：数符，尾数，指数符，指数四部分。

数符占1位二进制，表示数的正负。

指数符占1位二进制，表示指数的正负。

尾数表示浮点数有效数字，0.xxxxxxx,但不存开头的0和点

指数存指数的有效数字。

指数占多少位，尾数占多少位，由计算机系统决定。

可能是数符加尾数占24位，指数符加指数占8位 -- float.

数符加尾数占48位（C/C++是53），指数符加指数占16位（C/C++是11） -- double.

知道了这四部分的占位，按二进制估计大小范围，再换算为十进制，就是你想知道的数值范围。

对编程人员来说，double 和 float 的区别是double精度高，有效数字16位，float精度7位。但double消耗内存是float的两倍，double的运算速度比float慢得多，C语言中数学函数名称double 和 float不同，不要写错，能用单精度时不要用双精度（以省内存，加快运算速度）。

float尾数23，2^23=8388608，所以有效数字是七位，但是只能保证6位，因为7位表示不了全部。C++ primer也是这样说的，，double有效数字是十六位保证10位（第四版P32）。

在C++中，单精度浮点型（float ）专指占用32位存储空间的单精度（single-precision ）值。单精度在一些处理器上比双精度更快而且只占用双精度一半的空间，但是当值很大或很小的时候，它将变得不精确。当你需要小数部分并且对精度的要求不高时，单精度浮点型的变量是有用的。例如，当表示美元和分时，单精度浮点型是有用的。在foxpro中，单精度浮点型是为了提供兼容性,浮点数据类型在功能上等价于数值型。

在VB中，Single 数据类型 Single（单精度浮点型）变量存储为 IEEE 32 位（4 个字节）浮点数值的形式，它的范围在负数的时候是从 -3.402823E38 到 -1.401298E-45，而在正数的时候是从 1.401298E-45 到 3.402823E38。

浮点数7位有效数字。

双精度数16位有效数字。

float浮点数取值范围：

负数取值范围为 -3.4028235E+38 到 -1.401298E-45，正数取值范围为 1.401298E-45 到 3.4028235E+38。

double数取值范围：

负值取值范围-1.79769313486231570E+308 到 -4.94065645841246544E-324，正值取值范围为 4.94065645841246544E-324 到 1.79769313486231570E+308。

C/C++中浮点数的表示遵循IEEE 754标准。

一个浮点数由三部分组成：符号位S、指数部分E（阶码）以及尾数部分M（如下）。

Floating

S--------E-------M

1位-----8位-----23位

Double

S--------E-------M

1位-----11位----52位

十进制数的换算计算公式为（n^m表示n的m次幂，B表示前面的数字是二进制）：

S * 2^(E-127) * (1.M)B

浮点数的精度取决于尾数部分。尾数部分的位数越多，能够表示的有效数字越多。

单精度数的尾数用23位存储，加上默认的小数点前的1位1，2^(23+1) = 16777216。因为 10^7 < 16777216 < 10^8，所以说单精度浮点数的有效位数是7位。

双精度的尾数用52位存储，2^(52+1) = 9007199254740992，10^16 < 9007199254740992 < 10^17，所以双精度的有效位数是16位。

另外：

如果你在PI值的有效位后增加数字的话，结果是不会变化的，由于PI值是以常数方式赋值，可以在常数后面加个'f'，如PI =

3.1415926f;否则编译器会先把常数当作double类型，然后再截断后面的值变为浮点值，这样的话，就有可能PI的值会有不同，造成你看到的现象。

篇三：浮点数(单精度浮点数与双精度浮点数)在计算机中的存储

浮点数在计算机中的存储

十进制浮点数格式：

浮点数格式使用科学计数法表示实数。科学计数法把数字表示为系数(coefficient)(也称为尾数(mantissa))，和指数 (exponent)两部分。比如 3.684*10^2. 在十进制中，指数的基数为 10，并且表示小数点移动多少位以生成系数。每次小数点向前移动时，指数就递增；每次小数点向后移动时，指数就递减。例如，25.92 可表示为 2.592 * 10^1，其中 2.592 是系数，值 10^1 是指数。必须把系数和指数相乘，才能得到原始的实数。另外，如 0.00172 可表示为 1.72*10^-3，数字 1.72 必须和 10^-3 相乘才能获得原始值。二进制浮点格式：

计算机系统使用二进制浮点数，这种格式使用二进制科学计数法的格式表示数值。数字按照二进制格式表示，那么系数和指数都是基于二进制的，而不是十进制，例如 1.0101*2^2. 在十进制里，像 0.159 这样的值，表示的是 0 + (1/10) + (5/100) + (9/1000)。相同的原则也适用二进制。比如，1.0101 乘以 2^2 后，生成二进制值 101.01 ，这个值表示二进制整数 5，加上分数 (0/2) + (1/4) 。这生成十进制值 5.25 。下表列出几个二进制

编写二进制浮点值时，二进制通常被规格化了。这个操作把小数点移动到最左侧的数位，并且修改指针进行补偿。例如 1101.011 变成 1.101011*2^3

浮点数的存储

? IEEE 标准754 浮点数标准使用 3 个成分把实数定义为二进制浮点值： ? 符号

? 有效数字

? 指数

符号位表示值是负的还是正的。符号位中的 1 表示负值，0 表示正值。

有效数字部分表示浮点数的系数(coefficient)(或者说尾数(mantissa))。系数可以是规格化的(normalized)，也可以是非规格化的(denormalized)。所谓规格化，就是任何一个数的科学计数法的表示都可为1.xxx*2^n，既然小数点左边的一位都是1，就可以把这一位省略。单精度浮点数23bit的尾数部分，可表示的精度却为24位，道理就在这里。

指数表示浮点数的指数部分，是一个无符号整数。因为指数值可以是正值，也可以是负值，所以通过一个偏差值对它进行置偏，及指数的真实值=指数部分的整数— 偏差值。对于32位浮点数，偏差值=127；对于64位浮点数，偏差值=1023.

浮点数的这 3 个部分被包含在固定长度的数据格式之内。IEEE 标准754 定义了浮点数的两种长度： 32位单精度和 64位双精度

可以用于表示有效数字的位的数量决定精度。下图显示了两种不同精度类型的位布局：

单精度浮点使用 23 位有效数字值。但是，浮点格式假设有效数字的整数部分永远为 1 ，并且不在有效数字值中使用它。这样实际上有效数字的精度达到了 24 位。指数使用 8 位值，它的范围从 0~255，称为移码指数，意思是必须从指数中减去一个数(称为偏移量或者是偏差值)，对单精度浮点数而言，这个值是 127 。当指数是0和255时，指数由别的含义，因此实际指数的范围是从 -126 到 +127 (二进制指数)，这样整个浮点数的范围则为：(1.18 * 10^-38～1.0×2……-126 到 3.40 * 10^38～1.1……1×2^127)。

? 指数0和255用于特殊用途。如果指数从1变化到254，则由s（符号位）、e（指数）和f（有效数）来表示的数为：

? -1的 s 次幂是数学上的一种方法，意思是“如果 s 为0，则数是正的（因为任何数的 0 次幂等于 1 ）；如果 s 为 1，则数是负的（因为 -1的 1 次幂为 -1）”。

? 表达式的另一部分是1.f，意思是1后面为二进制小数点，再后面为23位的有效小数部分。它乘以2的幂，其中指数为内存中的8位移码指数减去127。

? 注意，还有一种特殊的情况 0 ：

? 如果 e 等于 0，且 f 等于 0，则数为 0。通常，所有32位均为 0 则表示 0。但是符号位可以是 1，在这种情况下，数被解释为-0。-0 可以表示一个很小的数，小到在单精度格式中不能用数字和指数来表示。尽管如此，它们然小于 0。

? 如果 e 等于 0，且 f 不等于0

，则数是有效的。但是，它不是规格化的数，它等于

注意，二进制小数点左边的有效数为0。

? 如果e等于255，且f等于0，则数为正或负无穷大，这取决于符号s。

? 如果e等于255，且f不等于0，该值被认为“不是一个数”，简写为NaN。NaN可以表示一个不知道的数或者一个无效操作的结果。

Q：3.40 * 10^38 是值怎么来的?

A ：在单精度浮点格式中可以表示的最大规格化的正或负二进制数为：

换算成 10 进制约等于：3.402823669e+38，这里 1.111...111 近似为 2，则 2 * 2^127 = 2^128 = 3.402823669e+38 .

Q：1.18 * 10^-38 的值是怎么来的?

A：通常，单精度浮点格式中可以表示的最小规格化的正或负二进制数为：

换算成 10 进制就是：1.175494351e-38，也就是约等于 1.18 * 10^-38 。

Q：单精度浮点24位换算为十进制后，为什么精度是 7 位?

A：10位二进制数近似等于3位十进制数。也就是说，若10位都置1(即十六进制为3FFh，十进制为1023)，则它近似等于3位十进制都设置为9，即999。或者

这种关系表明按单精度浮点格式存放的24位二进制数大约与7位十进制数等效。因此，也可以说单精度浮点格式提供24位二进制精度，或大约7位十进制精度。可以这么设，一个 2 相当于 10^k 次方，即 10^k=2。那么 2 的 24 次方 2^24 = 10^24k 。从 10^k=2 可以知道 k = log10(2)～0.301。所以，2 的 24 次方换算到十进制，相当于有 24*log10(2)约等于 7.2 个精度。

Q：262144.00 和 262144.01 是一样的么?

A：当然不是一样的！但是在计算机里，单精度的存储中，它们却是一样的！看这两个数作为单精度浮点数时在计算机里是怎么存储的：两者被存储为同一个数字：。那这是为什么呢？原因是，规格化单精度浮点里，在小数点后有 23 位数，而 1.000...000 会经过 2^18 次方的运算后小数点会往前移动 18 个，那么小数点后面就只剩下 5 位，这时即使是 1/(2^5)=0.03125 都要比 0.01大，所以没办法，只能存为一样的数。

那么上面的问题如何避免呢？

答案是，使用双精度浮点数。

双精度浮点数的指数偏移量为1023，即3FFh，所以，以这种格式存放的数为：

它具有与单精度格式中所提到适用于0、无穷大和NaN等情形相同的规则。

最小的双精度浮点格式的正数或负数为:

最大的数为:

用十进制表示，它的范围近似为

。10的308

次幂是一个非常大的数，在1后面有308个十进制零。

53 位有效数（包括没有包含在内的那1位）的精度与16个十进制位表示的精度十分接近。相对于单精度浮点数来说这种表示要好多了，但它仍然意味着最终还是有一些数与另一些数是相等的。例如，140737488355328.00与140737488355328.01是相同的，这两个数按照64位双精度浮点格式存储，结果都是：42E0000000000000h

可把它转换为：

由上面可以看到，在双精度的浮点下，整数部分+小数部分的位数一共有 17 位。

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