正弦定理例题

时间：2016-10-19 17:01:39 来源：免费论文网

篇一：正弦定理练习题

正弦定理练习题

1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )

62 C.3 D．26

2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )

A．42 B．43C．6 D.

3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为( )

A．45°或135°B．135°C．45° D．以上答案都不对

4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于( )

A．1∶5∶6B．6∶5∶1 C．6∶1∶5D．不确定

5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b2，则c＝( )

A．1 B.C．2 24cos Ab

6．在△ABC中，若，则△ABC是( )

cos Ba

A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

7．已知△ABC中，AB3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为( )

33333 B.C.或3D.或 24242

8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于( )

6B．2 C.3 D.2

9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝则A＝________.

10．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.

11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.

12．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．

a＋b＋c

13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则________，

sinA＋sinB＋sinC

c＝________.

a－2b＋c

14．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________.

sin A－2sin B＋sin C

15．在△ABC中，已知a＝2，cosC＝，S△ABC＝43，则b＝________.

16．在△ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．

17．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为3，求边b的长．

正弦定理

1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )

62 C.3 D．26

abasinB

解析：选A.应用正弦定理得：b＝6.

sinAsinBsinA

2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )

A．42 B．43C．6 D.

asinB

解析：选C.A＝45°，由正弦定理得b＝46.

sinA

3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为( )

A．45°或135°B．135°C．45° D．以上答案都不对

abbsinA2

解析：选C.由正弦定理＝sinB＝，又∵a>b，∴B<60°，∴B＝45°.

sinAsinBa2

4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于( )

A．1∶5∶6B．6∶5∶1 C．6∶1∶5D．不确定

解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6. 5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b2，则c＝( )

A．1 B.C．2 24

bc2×sin 30°

解析：选A.C＝180°－105°－45°＝30°，由c＝1.

sinBsinCsin45°

cos Ab

6．在△ABC中，若，则△ABC是( )

cos Ba

A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

bsin Bcos Asin B

解析：选D.∵＝，∴＝

asin Acos Bsin A

sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B

即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝2

7．已知△ABC中，AB3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为( )

33B.243333D.242

ABAC3

解析：选D.，求出sinC＝，∵AB＞AC，

sinCsinB2

∴∠C有两解，即∠C＝60°或120°，∴∠A＝90°或30°.

再由S△ABC＝AB·ACsinA可求面积．

8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于( )

6B．2 3D.2

解析：选D.由正弦定理得，

sin120°sinC

∴sinC2

又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°， △ABC为等腰三角形，a＝c＝2.

9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝则A＝________.

＝

sinAsinC

a·sinC1

所以sinA＝.

ππ

又∵a＜c，∴A＜CA＝36

π答案：6

10．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.

3ab

解析：由正弦定理得＝

sinAsinB12bsinA3

?sinB＝＝a432

答案：

11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.

解析：C＝180°－120°－30°＝30°，∴a＝c，

ab12×sin30°由＝得，a＝＝， sinAsinBsin120°∴a＋c＝83. 答案：812．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．

解析：由正弦定理，得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB，代入式子a＝2bcosC，得 2RsinA＝2·2R·sinB·cosC，所以sinA＝2sinB·cosC，即sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC，化简，整理，得sin(B－C)＝0. ∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°， ∴－180°＜B－C＜180°， ∴B－C＝0°，B＝C. 答案：等腰三角形

a＋b＋c

13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则________，

sinA＋sinB＋sinC

c＝________.

a＋b＋ca311

解析：由正弦定理得＝＝＝12，又S△ABC＝bcsinA，∴

22sinA＋sinB＋sinCsinAsin60°×12×sin60°×c＝183，

∴c＝6.

答案：12 6

a－2b＋c

14．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________.

sin A－2sin B＋sin C

解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，

∴2R＝＝2，

sinAsin30°

又∵a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，

a－2b＋c2R?sin A－2sinB＋sin C?

∴＝＝2R＝2. sin A－2sin B＋sin Csin A－2sin B＋sin C答案：2

15．在△ABC中，已知a＝2，cosC＝，S△ABC＝43，则b＝________.

221

解析：依题意，sinC＝S△ABC＝absinC＝43，

解得b＝23. 答案：23

16．在△ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．

解析：∵bsinC＝＝23且c＝2，

∴c<bsinC，∴此三角形无解．答案：0

17．如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？

解：在△ABC中，BC＝＝20，

∠ABC＝140°－110°＝30°， ∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得

BC·sin∠ABCAC＝

sinA

20sin30°＝2(km)． sin45°

即货轮到达C点时，与灯塔A的距离是102 km.

CC1

18．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝23，cos，sin Bsin C

224

＝cosA、B及b、c.

CC11

解：由sinsinC＝

2242

π5π

又C∈(0，π)，所以CC＝66A

由sin Bsin C＝cos

sin Bsin C－cos(B＋C)]，

即2sin Bsin C＝1－cos(B＋C)，

即2sin Bsin C＋cos(B＋C)＝1，变形得 cos Bcos C＋sin Bsin C＝1，

π5π

即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝B＝C＝(舍去)，

2π

A＝π－(B＋C)＝3abc

由正弦定理，得

sin Asin Bsin C

12sin B

b＝c＝a22.

sin A3

2ππ

故A＝，B＝b＝c＝2.

19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A

、B、C所对应的边分别为a、b、

310

c，且cos 2A＝，sin B.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值．

510

解：(1)∵A、B为锐角，sin B＝，

3∴cos B＝1－sinB＝103525

又cos 2A＝1－2sin2AsinA＝cos A＝

555

∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B 253105102＝－.

5105102

又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝4

3π(2)由(1)知，C＝sin C＝.

42abc

由正弦定理：得

sin Asin Bsin C

5a＝10b＝2c，即a＝2b，c5b.

∵a－b＝2－12b－b＝2－1，∴b＝1. ∴a2，c＝5.

20．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为3，求边b的长．

解：由S＝sin C得，3＝×603×sin C，

221

∴sin C＝C＝30°或150°.

又sin B＝sin C，故∠B＝∠C. 当∠C＝30°时，∠B＝30°，∠A＝120°.

又∵ab＝603，＝b＝15.

sin Asin B

当∠C＝150°时，∠B＝150°(舍去)．

篇二：正弦定理习题及答案

正弦定理习题及答案

一、选择题(每小题5分，共20分)

11．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin B＝2，sin A＝，2

则b的值为( )

A．2

C．6

解析：由正弦定理得b＝B．4 D．8 asin B24. sin A12

答案： B

2．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC是( )

A．等边三角形

C．直角三角形

解析： ∵sin2A＝sin2B＋sin2C.

∴由正弦定理可得a2＝b2＋c2

∴△ABC是直角三角形．

答案： C

3．在△ABC中，若A＝60°，C＝75°，b＝6，则a等于( ) A.

C.6B．3 D．36 B．等腰三角形 D．锐角三角形

解析： ∵B＝180°－(60°＋75°)＝45°，

36×2bsin A∴a＝＝36. sin B2

答案： D

4．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是( )

A．b＝10，A＝45°，B＝70°

C．a＝7，b＝5，A＝80°B．a＝60，c＝48，B＝100° D．a＝14，b＝16，A＝45°

解析： D中，bsin A＝2，a＝14，所以bsin A<a<b，所以三角形有两个解．故选

答案： D

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比为a∶b∶c为________．

解析： ∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，

∴A＝90°，B＝60°，C＝30°，

设abc＝＝k， sin Asin Bsin C

3k，c＝ksin C＝22则a＝ksin A＝k，b＝ksin B＝

∴a∶b∶c＝2∶3∶1.

答案： 23∶1

6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知a＝15，b＝2，A＝60°，则tan B＝________.

bsin A231解析：由正弦定理得sin B＝×， a1525

根据题意，得b<a，

故B<A＝60°，因此B为锐角．

cos B＝1－sinB＝

sin B1故tan B＝＝cos B21答案： 2

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．(1)在△ABC中，已知A＝30°，a＝6，b＝3，求B.

(2)在△ABC中，已知A＝60°，a＝6，b＝2，求B.

623解析： (1)在△ABC中，由正弦定理可得＝ sin 30°sin B

解得sin B＝222. 5

∵b>a，∴B>A.

∴B＝45°或135°.

62(2)在△ABC中，由正弦定理可得＝ sin 60°sin B

解得sin B＝2 2

∵b<a，∴B<A.

∴B＝45°.

a28．在△ABC中，若sin B＝＝B为锐角，试判断△ABC的形状． c2

解析： ∵sin B＝

2，且B为锐角， 22

∴B＝45°.

a2∵＝. c2

sin A∴由正弦定理得， sin C2

又∵A＋C＝135°，

∴sin(135°－C)整理得cos C＝0.

∴C＝90°，A＝45°.

∴△ABC是等腰直角三角形． 尖子生题库☆☆☆

9．(10分)△ABC的各边均不相等，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且acos A＝bcos a＋bB的取值范围． c

解析： ∵acos A＝bcos B，

∴sin Acos A＝sin BcosB，

∴sin 2A＝sin 2B.

∵2A,2B∈(0,2π)，

∴2A＝2B或2A＋2B＝π，

π∴A＝B或A＋B＝. 2

如果A＝B，则a＝b不符合题意，

π∴A＋B＝2

a＋bsin A＋sin B∴sin A＋sin B＝sin A＋cos A csin C

π2sin(A＋， 4

π∵a≠b，C＝ 2

ππ0，且A ∴A∈??24

a＋b∴(12)． c

2sin C， 2

篇三：正弦定理知识点与典型例题

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正弦定理

【基础知识点】

1. 三角形常用公式：A＋B＋C＝π；S＝111ab sin C＝bc sin A＝＝ca sin B； 222

sin(A+B)=sinC, cos(A+B)=-cosC,

sin(A+B)/2=cosC/2, cos(A+B)/2=sinC/2

2．三角形中的边角不等关系: A>B?a>b,a+b>c,a-b<c；

3．【正弦定理】：abc＝＝＝2R（外接圆直径）； sinAsinBsinC

?a?2RsinA?正弦定理的变式：?b?2RsinB；

?c?2RsinC?a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C．

asinB=bsinAbsinC=csinB asinC=csinA

sinA=a/2R sinB=b/2R sinC=c/2R

4．正弦定理应用范围：

①已知两角和任一边，求其他两边及一角．

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．

③几何作图时，存在多种情况．如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．

已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：

(1)A为锐角

BAAB

a=bsinA bsinA<a<b a?b 一解两解一解

(2)A为锐角或钝角

当a>b时有一解.

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等三角形有关性质进行判断

典型例题：

例1、在?ABC中，a?2,b?1,A?45?求B的大小。

例2、在△ABC中，已知a?

例3、在△ABC中，a=15,b=10,A=60,则cosB的值

例4、在△ABC中，B?30，AB?2，AC=2，求△ABC的面积。

例5、在△ABC中已知acosB=bcosA,试判断△ABC的形状.

例6、在△ABC中，(a?b)sin(A?B)?(a?b)sin(A?B)，试判断△ABC的形状 2222?，b?2，B=45? 求A、C及c. ?

Ba＋c例7、在△ABC中，cos2(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为？ 22c

13例8、在△ABC中，tanA＝cosB＝1，则最短边的长 210

A2→→例9、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos＝，AB·AC＝3. 25

(1)求△ABC的面积；

1例10、设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosC＝b. 2

(1)求角A的大小；

(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．

例11、在△ABC中，sin(C-A)=1,sinB=

1.(Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)设6 求△ABC的面积. 3

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