8年级全等三角形
篇一：初二数学上全等三角形知识点总结
全等三角形 知识梳理
一、知识网络
??对应角相等
性质??
?对应边相等?
?
?边边边 SSS
?
?全等形?全等三角形?边角边 SAS???
判定?角边角 ASA?
?角角边 AAS?
??
??斜边、直角边 HL?作图?
角平分线?
?性质与判定定理
?应用
二、基础知识梳理 （一）、基本概念
1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；
即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质
（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法
（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
（二）灵活运用定理
1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，
因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找：
①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找
①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找
①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)
证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：
1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；
2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。 常见考法
（1）利用全等三角形的性质：①证明线段（或角）相等；②证明两条线段的和差等于另一条线段；③证明面积相等； （2）利用判定公理来证明两个三角形全等；
（3）题目开放性问题，补全条件，使两个三角形全等。 误区提醒
（1）忽略题目中的隐含条件；
（2）不能正确使用判定公理。
轴对称知识梳理
一、基本概念
1.轴对称图形
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.
2.线段的垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 3.轴对称变换
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换. 4.等腰三角形
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
5.等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 二、主要性质
1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
2.线段垂直平分钱的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
3.（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）. （2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）. 4.等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.
（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.
（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等. （5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。 （6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边. 5.等边三角形的性质
（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. （2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.
（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合. 三、有关判定
1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
3.三个角都相等的三角形是等边三角形.
4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
一、选择题
1．如图，给出下列四组条件：
①AB?DE，BC?EF，AC?DF；②AB?DE，?B??E，BC?EF； ③?B??E，BC?EF，?C??F；④AB?DE，AC?DF，?B??E． 其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
2.如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若?CDE?48°，则?APD等于（ ）
3.如图（四），点P是AB上任意一点，?ABC??ABD，还应补充一个条件，才能推出
△APC≌△APD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是．．．．
（ ） A．BC?BD
B．AC?AD C．?ACB??ADB
D．?CAB??DAB
A．42° B．48° C ．52° D．58°
4.如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是( )
(A)∠B=∠E,BC=EF（B）BC=EF，AC=DF (C)∠A=∠D，∠B=∠E（D）∠A=∠D，BC=EF 5．如图，△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E， 若AC = 10cm，则△DBE的周长等于()
A．10cm B．8cm C．6cm D．9cm
6． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）
Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处
C
D
A
E
B
7．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那 么最省事的方法是（）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去
?
8．如图，在Rt△ABC中，?B?90 ，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC
?
于点E．已知?BAE?10，则?C的度数为（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
9．如图，△ACB≌△A?C?B?，?BCB?=30°，则?ACA?的度数为（ ）A．20° B．30° C．35° 10．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分
A
E
D．CD平分∠
ACB
C B??
?
?
?
?
D．40°
A
A
C
B
C
篇二：八年级上册数学全等三角形证明辅助线分析实例及复习题答案
初二数学全等三角形综合复习
切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。
例1. 如图，A,F,E,B四点共线，AC?CE，BD?DF，AE?BF，AC?BD。求证：
?ACF??BDE。
E手，全等条件只有思路：从结论?ACF??BD入
AC?BD；由AE?BF两边同时减去EF得到AF?BE，又得到一个全等条件。还缺少一
个全等条件，可以是CF?DE，也可以是?A??B。
由条件AC?CE，BD?DF可得?ACE??BDF?90，再加上AE?BF，AC?BD，可以证明?ACE??BDF，从而得到?A??B。
证明
AC?CE，BD?DF
??ACE??BDF?90 在Rt?ACE与Rt?BDF中
?AE?BF
?
AC?BD?
∴Rt?ACE?Rt?BDF(HL)
??A??
B AE?BF
?AE?EF?BF?EF，即AF?BE 在?ACF与?BDE中 ?AF?BE?
??A??B ?AC?BD?
??ACF??BDE(SAS)
思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。
小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。 例2.
如图，在?ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD?BE，垂足为D。求证：?2??1??C。
思路：直接证明?2??1??C比较困难，我们可以间接证明，即找到??，证明?2???且????1??C。也可以看成将?2“转移”到??。
那么??在哪里呢？角的对称性提示我们将AD延长交BC于F，则构造了△FBD，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。 证明：延长AD交BC于F
在?ABD与?FBD中 ??ABD??FBD?
?BD?BD
?
??ADB??FDB?90又
??ABD??FBD(ASA ??2??DFB
?DFB??1??C??2??1??C。
思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。
例3. 如图，在?ABC中，AB?BC，?ABC?90。F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE?BF，连接AE,EF和CF。求证：AE?CF。
思路：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段
AE为边的?ABE绕点B顺时针旋转90到?CBF的位置，而线段CF正好是?CBF的
边，故只要证明它们全等即可。
证明：?ABC?90，F为AB延长线上一点 ??ABC??CBF?90 在?ABE与?CBF中 ?AB?BC?
??ABC??CBF ?BE?BF?
??ABE??CBF(SAS) ?AE?CF。
思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。 小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助
线构造全等三角形。
例4. 如图，AB//CD，AD//BC，求证：AB?CD。
思路：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。
证明：连接AC
AB//CD，AD//BC
??1??2，?3??4 在?ABC与?CDA中 ??1??2?
?AC?CA ??4??3???ABC??CDA(ASA) ?AB?CD。
思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。
例5. 如图，AP,CP分别是?ABC外角?MAC和?NCA的平分线，它们交于点P。求证：
BP为?MBN的平分线。
思路：要证明“BP为?MBN的平分线”，可以利用点P到BM,BN的距离相等来证明，故应过点P向BM,BN作垂线；另一方面，为了利用已知条件“AP,CP分别是?MAC和?NCA的平分线”，也需要作出点P到两外角两边的距离。
证明：过P作PD?BM于D，PE?AC于E，PF?BN于F
AP平分?MAC，PD?BM于D，PE?AC于E
?PD?PE
CP平分?NCA，PE?AC于E，PF?BN于F ?PE?PF
PD?PE，PE?PF
?PD?PF
PD?PF，且PD?BM于D，PF?BN于F ?BP为?MBN的平分线。
思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。
例6. 如图，D是?ABC的边BC上的点，且CD?AB，?ADB??BAD，AE是?ABD的中线。求证：AC?2AE。
思路：要证明“AC?2AE”，不妨构造出一条等于2AE的线段，然后证其等于AC。因此，延长AE至F，使EF?AE。
证明：延长AE至点F，使EF?AE，连接DF 在?ABE与?FDE中
?AE?FE?
??AEB??FED ?BE?DE?
??ABE??FDE(SAS)
??B??EDF
?ADF??ADB??EDF，?ADC??BAD??B 又?ADB??BAD ??ADF??ADC
AB?DF，AB?CD ?DF?DC
在?ADF与?ADC中 ?AD?AD?
??ADF??ADC ?DF?DC???ADF??ADC(SAS) ?AF?AC
又AF?2AE
?AC?2AE。
思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。
例7. 如图，在?ABC中，AB?AC，?1??2，P为AD上任意一点。求证：AB?AC?PB?PC。
原图 法一图 法二图
思路：欲证AB?AC?PB?PC，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段AB?AC。而构造AB?AC可以采用“截长”和“补短”两种方法。
证明：法一：
在AB上截取AN?AC，连接PN 在?APN与?APC中 ?AN?AC?
??1??2 ?AP?AP?
??APN??APC(SAS) ?PN?PC
在?BPN中，PB?PN?BN
?PB?PC?AB?AC，即AB－AC>PB－PC。
法二：
延长AC至M，使AM?AB，连接PM 在?ABP与?AMP中 ?AB?AM?
??1??2 ?AP?AP?
??ABP??AMP(SAS)
?PB?PM
在?PCM中，CM?PM?PC ?AB?AC?PB?PC。
思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。
小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。
篇三：八年级上册全等三角形试题
全等三角形单元测试试题
1、已知：如图，AB=AC，BD?AC，CE?AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD。
B A
2、已知：如图。A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，求证：AB∥DE；BC∥EF
A
C E B
D
3、已知在△ABC中，∠A=Rt∠，AB=AC，BD是角平分线，求证：AB+AD=BC．
C
B
4、已知：如图，△ABC中，M是BC边上的一点，CE∥BF，CE=BF，求证：AM是BC边上的中线. A
C
F
5、已知：如图，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，求证：AB=AC+CD
A
C D
6、已知：在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB的中点，求证CD=2CE.
B
7、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：∠ADC=∠BCD
8、.已知：E是正方形ABCD的边长AD上一点，BF平分EBC，交CD于F，求证BE=AE+CF.D F
9、已知：如图 , AB=DC ,AD=BC , O是BD中点 ,过O的直线分别与DA、BC的延长线交于E、F．
求证：
OE=OF
10、（9分）如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。
求证：AM是△ABC的中线。
二、选择题（3分×10=30分）
11、如图△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点，
若AB=6cm，BD=5cm,AD=4cm,则BC长为（ ）
A、4cm B、5cmC、6cm D、无法确定
12、如图△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=50°， FBEAMC
∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于（
）
A、120° B、70° C、60° D、50°
13、在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，
在下面判断中错误的是（ ）
A、若添加条件AC=A′C′，则△ABC≌△A′B′C′
B、若添加条件BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′
C、若添加条件∠B=∠B′，则△ABC≌△A′B′C′
D、若添加条件∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′
14、工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（ ）
A、SSSB、SAS C、ASA D、HL
15、下列命题错误的是（ ）
A、全等三角形的对应线段相等 B、全等三角形的面积相等
C、一个锐角和相邻的直角边对应相等的两个直角三角形全等
D、两角对应相等的两个三角形全等
16、不能确定两三角形全等的条件是（ ）
A、三条边对应相等 B、两条边及其夹角对应相等
C、两角和一条边对应相等 D、两条边和一条边所对应的角对应相等
17、在△ABC和△A′B′C′中，①AB=A′B′；②BC=B′C′；③AC=A′C′；④∠A=∠A′；⑤∠B=∠B′；⑥∠C=∠C′，则下列哪组条件不能保证△ABC≌△A′B′C′（ ）
A、①②③B、①②⑤ C、①⑤⑥D、①②④
18、如图△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，D为AB中点过点D作DE⊥AB交AC于点E，下列结论：①CE=DE；②AE=BC；③∠B=2∠A；④∠A=30°中正确个数为（ ）
A、1个B、2个C、3个D、4个
19、如图，在△ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=α ，则下列结论正确的是（ ）
A、2 α+∠A=180° B、α +∠A=90°
C、2α +∠A=90° D、 α+∠A=180
°
20、如图，已知△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，RS⊥AC于S，则三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP（ ）
A、全部正确 B、仅①和②正确
C、仅①正确 D、仅①和③正确
全等三角形测试题
一、填空题
1．如图（1），△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，则≌．
2．斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等的根据是形全等的根据是__________．
3．已知△ABC≌△DEF，△DEF的周长为32 cm，DE=9 cm，EF=12 cm则AB，BCAC
图（1）图（2）图（3） 图（4）
4．如图（2），AC=BD，要使△ABC≌△DCB还需知道的一个条件是．
5．如图（3），若∠1=∠2，∠C=∠D，则△ADB≌，理由
6．如图（4），∠C=∠E，∠1=∠2，AC=AE，则△ABD按边分是
7．如图（5），AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，交BD于P，则PD（填“<”或“>”或“=”）．
8．如图（6），△ABC中，AB=AC，现想利用证三角形全等证明∠B=∠C，若证三角形全等所用的公理是SSS公理，则图中所添加的辅助线应是____________________________．
图（5）图（6） 图（7）
9．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y
10．如图（7），AD=AE，若△AEC≌△ADB，则需增加的条件是．（至少三个）
二、选择题
11．不能确定两个三角形全等的条件是
A．三边对应相等 B．两边及其夹角相等
C．两角和任一边对应相等 D．三个角对应相等
12．如图（8），图中有两个三角形全等，且∠A=∠D，AB与DF是对应边，则下列书写最规范的是
A．△ABC≌△DEFB．△ABC≌△DFE
C．△BAC≌△DEFD．△ACB≌△DEF
13．如图（9），AC=AB，AD平分∠CAB，E在AD上，则图中能全等的三角形有对
A．1 B．2 C．3 D．
4
图（8） 图（9）图（10）图（11）
14．如图（10），△ABC中，D、E是BC边上两点，AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°，∠BAE=60°，则∠CAD等于
A．70° B．60° C．50° D．110°
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