初二数学全等三角形

篇一：海淀区初二数学全等三角形经典50题证明

海淀名校全等三角形证明经典50题（含答案）

1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD?

B

D

解析：延长AD到E,使DE=AD,

则三角形ADC全等于三角形EBD

即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD是整数,则AD=5

2. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD?

12

AB

3. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

证明：连接BF和EF。??因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。??所以 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。??所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF。????连接BE。??在三角形BEF中,BF=EF。??所以 ∠EBF=∠BEF。??又因为 ∠ABC=∠AED。??所以 ∠ABE=∠AEB。??所以 AB=AE。????在三角形ABF和三角形AEF中，??AB=AE,BF=EF,??∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。??所以 三角形ABF和三角形AEF全等。??所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。??

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

证明：??过E点，作EG//AC，交AD延长线于G??则

∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2??又

∵CD=DE??∴⊿ADC≌⊿GDE（AAS）??∴EG=AC??∵EF//AB??∴∠DFE=∠1??∵∠1=∠2??∴∠DFE=∠DGE??∴EF=EG??∴EF=AC

5. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

B

证明：??在AC上截取AE=AB，连接ED??∵AD平分∠BAC??∴∠EAD=∠BAD??又∵AE=AB，AD=AD??∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）??∴∠AED=∠B，DE=DB??∵AC=AB+BD??

AC=AE+CE??∴CE=DE??∴∠C=∠EDC??∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C??∴∠B=2∠C

6. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：

AE=AD+BE

证明： ??在AE上取F，使EF＝EB，连接CF ??因为CE⊥AB ??所以∠CEB＝∠CEF＝90° ??因为EB＝EF，CE＝CE， ??所以△CEB≌△CEF ??所以∠B＝∠CFE ??因为∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° ??所以∠D＝∠CFA ??因为AC平分∠BAD ??所以∠DAC＝∠FAC ??又因为AC＝AC ??所以△ADC≌△AFC（SAS） ??所以AD＝AF ??所以AE＝AF＋FE＝AD＋BE ????

12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。

证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.??∠ABE=∠FBE,BE=BE,则

⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;??AB平行于CD,则:∠A+∠D=180°;??又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;??又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.??所

以,BC=BF+FC=AB+CD.

13.已知：AB//ED，∠EAB=∠

BDE，

AF=CD，

EF=B

C，求

证：∠

F=∠C

证明：AB//ED,AE//BD推出AE=BD, 又有AF=CD,EF=BC

所以三角形AEF 全等于三角形DCB， 所以:∠C=∠F

14. 已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C

??证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当AD<BC

时，E点是射线BA,CD的交点，当AD>BC时，E点

是射线AB,DC的交点）。

则：??△AED是等腰三角形。??所以：AE=DE??而AB=CD??所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量）

??所以：△BEC是等腰三角形??所以：角B=角C.

15. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-AB

证明：作B关于AD的对称点B‘，因为AD是角BAC的平分线，B'在线段AC上（在AC中间，因为AB较短）??因为PC<PB’+B‘C,PC-PB’<B‘C,而B'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PB<AC-AB A

D

16. 已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE

证明：∠BAC=180-（∠ABC+∠C=180-4∠C?? ∠1=∠BAC/2=90-2∠C??

∠ABE=90-∠1=2∠C?? 延长BE交AC于F??

因为，∠1 =∠2，BE⊥AE?? 所以，△ABF是等腰三角形

??AB=AF,BF=2BE????∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠C??BF=CF????AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE

17. 已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC

C

证明：作AG∥BD交DE延长线于G?? AGE全等BDE

AG=BD=5??AGF∽CDF ?? AF=AG=5

??所以DC=CF=218．（5分）如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．

证明：延长AD至H交BC于H;??BD=DC; ??所以:??∠DBC=∠角DCB;??∠1=∠2;??

∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;??∠ABC=∠ACB;?? 所以:??AB=AC;??

三角形ABD全等于三角形ACD;??

∠BAD=∠CAD;??AD是等腰三角形的顶角平分线??所以:??AD垂直BC

19．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．

求证：∠OAB=∠OBA

证明：因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，且∠MOA=∠MOB?? 所以MA=MB??所以∠MAB=∠MBA?? 因为∠OAM=∠OBM=90度??

所以∠OAB=90-∠MAB ∠OBA=90-∠MBA??所以∠OAB=∠OBA

20．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP

于D．求证：AD+BC=AB．

证明：??做BE的延长线，与AP相交于F点，??∵PA//BC??∴∠PAB+∠CBA=180°，

E

又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线??∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形??在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线

??∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF??在三角形DEF与三B

角形BEC中，??∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，??∴三角

形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC??∴AB=AF=AD+DF=AD+BC??

P

D

A

篇二：八年级数学全等三角形练习题含答案

全等三角形复习练习题

一、选择题

1．如图，给出下列四组条件：

①AB?DE，BC?EF，AC?DF；②AB?DE，?B??E，BC?EF； ③?B??E，BC?EF，?C??F；④AB?DE，AC?DF，?B??E． 其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）

A．1组

2.如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三 角形沿DE折叠，使点C落在AB 边上的点P处．若?CDE?48°， 则?APD等于（）

A．42° B．48° C ．52° D．58° 3.如图（四），点P是AB上任意一点，?ABC??ABD，还应补 充一个条件，才能推出△APC≌△APD．从下列条件中补充 一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是（） ．．．．

A．BC?BD B.AC?AD C.?ACB??ADB D.?CAB??DAB 4.如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两 个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是( )(A)∠B=∠E,BC=EF （B）BC=EF，AC=DF (C)∠A=∠D，∠B=∠E （D）∠A=∠D，BC=EF

5．如图，△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于E，若AC = 10cm，则△DBE的周长等于( ) A．10cm B．8cm C．6cm D．9cm

6． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中

转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（

Ａ．1

处

Ｂ．2处

Ｃ．3处

Ｄ．4处

C

B．2组 C．3组 D．4组

A

P D

图（四）

E

B

7．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配

一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去

?

8．如图，在Rt△ABC中，?B?90 ，ED是AC的垂直平分线，交AC于

点D，交BC于点E．已知?BAE?10，则?C的度数为（） A．30? B．40? C．50? D．60? 9．如图，△ACB≌△A?C?B?，?BCB?=30°，则?ACA?的度数为（）A．20°

B?

B．30°

?

C．35° D．40°

A

A

B

C D

10．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）

A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB

12.如图, ∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为（）

A. 5cm B. 3cmC. 2cmD. 不能确定

A

B

C

B

13．如图，OP平分?AOB，PA?OA，PB?OB，垂足分别为A，B．下列结论

中不一定成立的是（）

A．PA?PB B．PO平分?APB C．OA?OB

D．AB垂直平分OP

A

14.如图，已知AB?AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定（）

A．CB?CD B．∠BAC?∠DAC C．∠BCA?∠DCA

D．∠B?∠D?90?

B

C

15.观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（）

……

第1个

第2个

第3个

C．4n?4

D．4n

A．2n?2 二、填空题

B．4n?4

1.如图，已知AB?AD，?BAE??DAC，要使 △ABC≌△ADE，可补充的条件是 （写出一个即可）．

B

B

A

D

D

C

2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=5cm,则△DEB的周长为 ________

3.如图，?BAC??ABD，请你添加一个条件： ，使OC?OD（只添一个即可）．

D

A

B 4.如图，在ΔABC中，∠C=90°∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D到直线AB的距离是__________厘米。 5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形

有个 ．

第1个第2个

第3个

6.已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝________度.

B

A

CED

7如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°. 恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。 8.如图所示，AB = AD，∠1 = ∠2，添加一个适当的条件，使△ABC ≌ △ADE，则需要添加的条件是________. 三、解答题

1.如图，已知AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE.

2.如图，在△ABC中，AB?AC，?BAC?40°，分别以AB，AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使?BAD??CAE?90°． （1）求?DBC的度数；（2）求证：BD?CE．

4.如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．

5.如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M．

（1）求证：△ABC≌△DCB ；（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．

9．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线

垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F． 求证：BD=2CE．

E

B

C

AD

B

N

F

A

EBC

篇三：初二数学上全等三角形知识点总结

全等三角形 知识梳理

一、知识网络

??对应角相等性质???对应边相等???边边边 SSS??全等形?全等三角形?边角边 SAS?应用??判定? ?角边角 ASA??角角边 AAS?????斜边、直角边 HL?

作图?角平分线??性质与判定定理

二、基础知识梳理

（一）、基本概念

1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；

即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的性质

（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；

3、全等三角形的判定方法

（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上

（二）灵活运用定理

1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

（1）已知条件中有两角对应相等，可找：

①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)

（2）已知条件中有两边对应相等，可找

①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)

（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找

①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)

轴对称知识梳理

一、基本概念

1.轴对称图形

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.

2.线段的垂直平分线

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线

3.轴对称变换

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.

4.等腰三角形

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

5.等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形.

二、主要性质

1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

2.线段垂直平分钱的性质

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

3.（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）.

（2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）.

4.等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.

（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.

（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。

（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.

5.等边三角形的性质

（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.

（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.

（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.

三、有关判定

1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.

3.三个角都相等的三角形是等边三角形.

4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

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