理论力学动量矩习题

时间：2017-01-13 07:14:08 来源：免费论文网

篇一：理论力学课后习题答案第9章动量矩定理及其应用)

第9章动量矩定理及其应用

9－1 计算下列情形下系统的动量矩。

1. 圆盘以ω的角速度绕O轴转动，质量为m的小球M可沿圆盘的径向凹槽运动，图示瞬时小球以相对于圆盘的速度vr运动到OM = s处（图a）；求小球对O点的动量矩。

2. 图示质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。轮心为A，质心为C，且AC = e；轮子半径为R，对轮心A的转动惯量为JA；C、A、B三点在同一铅垂线上（图b）。（1）当轮子只滚不滑时，若vA已知，求轮子的动量和对B点的动量矩；（2）当轮子又滚又滑时，若vA、ω已知，求轮子的动量和对B点的动量矩。

解：1、LO?m?s（逆） 2、（1）

p?mvC?m(vA??

e)?mvA(1?

LB?mvC(R?e)?JC??mv

(R?e)

veR

?(JA?me)

vAR

(a)

(b)

习题9－1图

（2）p?mvC?m(vA??e)

LB?mvC(R?e)?JC??m(vA??e)(R?e)?(JA?me2)??m(R?e)vA?(JA?meR)?

9－2 图示系统中，已知鼓轮以ω的角速度绕O轴转动，其大、小半径分别为R、r，对O轴的转动惯量为JO；物块A、B的质量分别为mA和mB；试求系统对O轴的动量矩。解：

LO?(JO?mAR?mBr)?

习题9－2图

9－3 图示匀质细杆OA和EC的质量分别为50kg和100kg，并在点A焊成一体。若此结构在图示位置由静止状态释放，计算刚释放时，杆的角加速度及铰链O处的约束力。不计铰链摩擦。

解：令m = mOA = 50 kg，则mEC = 2m 质心D位置：（设l = 1 m) d?OD?

56l?

56m

Fmg

刚体作定轴转动，初瞬时ω=0

JO??mg?JO?

l2?

?2mg?l112

?2m?(2l)?2ml

?3ml

习题20-3图

习题20-3解图

即3ml2? ?

mgl

56l

g?8.17rad/s

l???

2536

aD?

由质心运动定理： 3m?aD?3mg?FOy

FOy?3mg?3m

??0

，aD

2536

1112

mg?449

N（↑）

， FOx

9－4 卷扬机机构如图所示。可绕固定轴转动的轮B、C，其半径分别为R和r，对自身转轴的转动惯量分别为J1和J2。被提升重物A的质量为m，作用于轮C的主动转矩为M，求重物A的加速度。

解：对轮C：

J2?C?M?FTr

对轮B和重物A：

(J1?mR)??FT?R?mgR

运动学关系：

a?r?C?R? a?

习题9－4图

(M?mgr)rR

J1r?J2R?mRr

9－5 图示电动绞车提升一质量为m的物体，在其主动轴上作用一矩为M动力偶。已知主动轴和从动轴连同安装在这两轴上的齿轮以及其它附属零件对各自转动轴的转动惯量分别为J1和J2；传动比r2 : r1 = i；吊索缠绕在鼓轮上，此轮半径为R。设轴承的摩擦和吊索的质量忽略不计，求重物的加速度。

解：对轮1（图a）：

J1?1?M?Fr1

对轮2（图b）：

(J2?mR)?2?F?r2?mgR

习题9－5图

（b）习题9－5解图

r1?1?r2?2；?1?i?2

?2?

Mi?mgRJ2?mR

?J1i

重物的加速度：a?R?2?

(Mi?mgR)RJ2?mR

?J1i

9－6 均质细杆长2l，质量为m，放在两个支承A和B上，如图所示。杆的质心C到两支承的距离相等，即AC = CB = e。现在突然移去支承B，求在刚移去支承B瞬时支承A上压力的改变量ΔFA。

解：JA??mge，(ml?me)??mge

习题9－6图

maC?mg?FA aC?e??

3ge

l?3e

FA?mg?

3mge

l?3e

习题9－6解图

?FA?

mg2

?FA?

3mge

l?3e

mg2

3e?l

222

2(l?3e)

9－7 为了求得连杆的转动惯量，用一细圆杆穿过十字头销A处的衬套管，并使连杆绕这细杆的水平轴线摆动，如图a、b所示。摆动100次所用的时间为100s。另外，如图c所示，为了求得连杆重心到悬挂轴的距离AC = d，将连杆水平放置，在点A处用杆悬挂，点B放置于台秤上，台秤的读数F = 490N。已知连杆质量为80kg，A与B间的距离l=1m，十字头销的半径r = 40mm。试求连杆对于通过质心C并垂直于图面的轴的转动惯量JC。

习题9－7图

解：图（a），???1时， JA?????mg(d?r)?

???mg(d?r)??0JA?????

mg(d?r)

??0

?n?

2π

mg(d?r)

T?J

?2π

mg(d?r)

（1）（2）

?JC?m(d?r)

?58

?0.625

由图（b）： ?MA

，d

Flmg

?2s

代入（1）、（2），注意到周期T

JC?

mg(d?r)

，得

gπ

?m(d?r)9.8π

?m(d?r)[?(d?r)]

?80?0.665?(?17.45kg?m

?0.665)

(b) 习题9－7解图

9－8 图示圆柱体A的质量为m，在其中部绕以细绳，绳的一端B固定。圆柱体沿绳子解开的而降落，

其初速为零。求当圆柱体的轴降落了高度h时圆柱体中心A的速度υ和绳子的拉力FT。

解：法1：图（a） maA?mg?FT JAα?FTr aA?rα 解得

（1）（2）（3）

习题9－8图

FT?

（拉）（常量）

（4）

aA?

由运动学

vA?2aAh?

3gh

（↓）

法2：由于动瞬心与轮的质心距离保持不变，故可对瞬心C用动量矩定理：

???mgr JC?（5）又 aA再由得

9－9 鼓轮如图，其外、内半径分别为R和r，质量为m，对质心轴O的回转半径为ρ，且ρ2

= R ·r，鼓轮在拉力F的作用下沿倾角为θ的斜面往上纯滚动，F力与斜面平行，不计滚动摩阻。

试求质心O的加速度。

JC?J?????23

?mr

aArg

（同式（4））

(a)

3gh

?mg?FT

FT?

（拉）

vA?2aAh?

（↓）

解：鼓轮作平面运动，轴O沿斜面作直线运动：

maO?F?Ff?mgsin? （1） m???Fr?FfR 纯滚：aO?R? 代入（2） m??

（2）（3）

习题9－9图

aOR

?Fr?FfR

（4）

解（1）、（4）联立，消去Ff，得 aO?

FR(R?r)?mgRsin?

m(R??)

9－10 图示重物A的质量为m，当其下降时，借无重且不可伸长的绳使滚子C沿水平轨道滚动而不滑动。绳子跨过不计质量的定滑轮D并绕在滑轮B上。滑轮B与滚子C固结为一体。已知滑轮B的半径为R，滚子C的半径为r，二者总质量为m′，其对与图面垂直的轴O的回转半径为?。求：重物A的加速度。

习题9－10图

解：法1：对轮： JO??TR?Fr m?aO?F?T

对A：

maA?mg?T

又：aA?aH绳?aH 以O为基点：

aH?aH?aO?aHO?aHO

aH?aHO?aO?R??r??(R?r)?（→）

（1）（2）（3）

tnnt

FaA?(R?r)?（↓）

由上四式联立，得（注意到JO

aA?

mg(R?r)

m?(?

（4）

?m??

?m?m?(?

）

?r)?m(R?r)?r)

(a)

(R?r)

法2：对瞬心E用动量矩定理（本题质心瞬心之距离为常数）

JE??T(R?r) maA?mg?T 又aA?(R?r)?

222

JE?JO?m?r?m?(??r) 可解得：aA

?m?m?(?

aHO

?r)

(b)

(R?r)

9－11 图示匀质圆柱体质量为m，半径为r，在力偶作用下沿水平面作纯滚动。若力偶的力偶矩M为常数，滚动阻碍系数为?，求圆柱中心O的加速度及其与地面的静滑动摩擦力。

解：JD?

?M?M

（1）

??FN

FN?mg

JD?

32mr

代入（1），得

2(M??mg)

3mr

习题9－11图

(a)

又：ma

2(M??mg)

9－12 跨过定滑轮D的细绳，一端缠绕在均质圆柱体A上，另一端系在光滑水平面上的物体B上，如图所示。已知圆柱A的半径为r，质量为m1；物块B的质量为m2。试求物块B和圆柱质心C的加速度以及绳索的拉力。滑轮D和细绳的质量以及轴承摩擦忽略不计。解：对轮C： JC??FTr

m1aC?m1g?FT

对物块B：m2aB?FT 且：aC?aB?r?；JC?解得：a?

m1m1

?3m2

m1m2m1?3m2

m1r

；aC

m1?2m2m1?3m2

习题9－12图

FT?

篇二：清华大学版理论力学课后习题答案大全(免费下载)(第9章动量矩定理及其应用)

第9章动量矩定理及其应用

9－1 计算下列情形下系统的动量矩。

解：1、LO?m?s2（逆） 2、（1）

v(a)

p?mvC?m(vA??

e)?mvA(1?)R

v(R?e)2

LB?mvC(R?e)?JC??mvA?(JA?me2)

(b)

（2）p?mvC?m(vA??e)

习题9－1图

LB?mvC(R?e)?JC??m(vA??e)(R?e)?(JA?me2)??m(R?e)vA?(JA?meR)?

LO?(JO?mAR2?mBr2)?

习题9－2图

解：令m = mOA = 50 kg，则mEC = 2m 质心D位置：（设l = 1 m) d?OD?

55l?m 66

F刚体作定轴转动，初瞬时ω=0JO??mg??2mg?lJO?ml2?即3ml2??

?2m?(2l)2?2ml2?3ml2 12

习题20-3图

习题20-3解图

mgl 2

??5g?8.17rad/2s

6l525 t aD?l???g

由质心运动定理： 3m?aD?3mg?FOy

2511

g?mg?449N（↑） 3612n

?0， FOx?0 ??0，aDFOy?3mg?3m

解：对轮C： J2?C?M?FTr 对轮B和重物A：

?R?mgR (J1?mR2)??FT

运动学关系： a?r?C?R? (M?mgr)rR2

a?2222

J1r?J2R?mRr

习题9－4图

题9-4解图

解：对轮1（图a）：

J1?1?M?Fr1

对轮2（图b）：

习题9－5图

（b）

习题9－5解图

(J2?mR2)?2?F?r2?mgR r1?1?r2?2；?1?i?2

Mi?mgR

?2?

J2?mR2?J1i2

(Mi?mgR)R

重物的加速度：a?R?2? 22

J2?mR?J1i

解：JA??mge，(ml?me)??mge

习题9－6图

maC?mg?FA

3ge2

aC?e??2 2

l?3e3mge2

FA?mg?2

l?3e2mg3mge2mg3e2?l2

?FA??FA?2??2mg

2l?3e222(l?3e2)

习题9－6解图

习题9－7图

解：图（a），???1时，

????mg(d?r)? JA?

???mg(d?r)??0 JA?

???mg(d?r)??0 ?

?n? T?

2π

mg(d?r)

JA?2π

mg(d?r)

（1）（2）

JA?JC?m(d?r)2

由图（b）： ?MA

Fl5

?0，d???0.625m

mg8

代入（1）、（2），注意到周期T?2s，得

JC?

mg(d?r)g2

?m(d?r)?m(d?r)[?(d?r)]π2π2

9.8

?80?0.665?(2?0.665)

?17.45kg?m2

(b) 习题9－7解图

9－8 图示圆柱体A的质量为m，在其中部绕以细绳，绳的一端B固定。圆柱体沿绳子解开的而降落，其初速为零。求当圆柱体的轴降落了高度h时圆柱体中心A的速度υ和绳子的拉力FT。

解：法1：图（a） maA?mg?FT JAα?FTr aA?rα JA?mr2 解得

FT?

1mg3

（1）（2）（3）

（拉）

（4）

习题9－8图

aA?g（常量）

由运动学 vA?2aAh?

gh（↓） 3

法2：由于动瞬心与轮的质心距离保持不变，故可对瞬心C用动量矩定理：

???mgrJC? （5） JC?JA?mr2?mr2

a???A 又 ?

aA?g（同式（4））

再由 maA?mg?FT

得

1FT?mg

（拉）

(a)

vA?aAh?gh（↓）

9－9 鼓轮如图，其外、内半径分别为R和r，质量为m，对质心轴O的回转半径为ρ，且ρ2 = R ·r，鼓轮在拉力F的作用下沿倾角为θ的斜面往上纯滚动，F力与斜面平行，不计滚动摩阻。

试求质心O的加速度。

解：鼓轮作平面运动，轴O沿斜面作直线运动：

ma（1） ? O?F?Ff?mgsinm?

??Fr?FfR 纯滚：aO?R?

代入（2）

（2）（3）

习题9－9图

m??O?Fr?FfR

（4）

f 解（1）、（4）联立，消去Ff，得

FR(R?r)?mgRsin?

aO? 22

m(R??)

题9-9解图

习题9－10图

解：法1：对轮： JO??TR?Fr m?aO?F?T

对A：

maA?mg?T

又：aA?aH绳?a 以O为基点：

tnnt

aH?aH?aO?aHO?aHO

（1）

（2）（3）

a?a?aO?R??r??(R?r)?（→）

aA?(R?r)?（↓）（4）由上四式联立，得（注意到JO?m??2）

aA?

mg(R?r)2

m?(?2?r2)?m(R?r)2

m?(?2?r2)??1m(R?r)tHtHO

FaA

(a)

法2：对瞬心E用动量矩定理（本题质心瞬心之距离为常数）

JE??T(R?r) maA?mg?T 又aA?(R?r)?

JE?JO?m?r2?m?(?2?r2) 可解得：aA?

m?(?2?r2)??1m(R?r)2

(b)

9－11 图示匀质圆柱体质量为m，半径为r，在力偶作用下沿水平面作纯滚动。若力偶的力偶矩M为

常数，滚动阻碍系数为?，求圆柱中心O的加速度及其与地面的静滑动摩擦力。

解：JD??M?Mf （1）

Mf??FN

FN?mg

?mr2 2

代入（1），得

2(M??mg)

3mr

习题9－11图

(a)

又：ma?F

2(M??mg)

m1aC?m1g?FT T′

对物块B：ma?F

且：aC?aB?r?；JC?m1r2

2m1?22 m1

解得：a? ；ga?gCB

m1?3m2m1?3m2

m1m2

FT?g

m1?3m2

习题9－12图

题9-12解图

篇三：第十一章动量矩定理习题解答

习题

11-1 质量为m的质点在平面Oxy内运动，其运动方程为：x?acos?t,y?bsin2?t。其中a、b和w均为常量。试求质点对坐标原点O的动量矩。

???a?sin?tvy?y??2b?co2vx?xs?t

LO??mvxy?mvyx

?m(a?sin?t?bsin2?t?2b?cos2?t?acos?t)

?mab?(sin?t?sin2?t?2cos2?t?cos?t)

?ma?b(si?nt?2sin?tco?st?2co2s?t?co?st)

?2ma?bco?st(si2n?t?co2s?t)

?2mab?cos3?t

11-2 C、D两球质量均为m，用长为2 l的杆连接，并将其中点固定在轴AB上，杆CD与轴AB的交角为?，如图11-25所示。如轴AB以角速度w转动，试求下列两种情况下，系统对AB轴的动量矩。（1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为2m。

图11-25

(1)

22 Jz?2m?(lsin?)2?2ml2sin? Lz?2m?l2sin? (2)

lm282Jz杆?2?(xsin?)2dx?ml2sin2? Jz?ml2sin? 0l33

8Lz?m?l2sin2? 3

11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m。

图11-26

12ml? 3

1l11(b) JO?ml2?m()2?ml2 LO??ml2? 12699

1m21m255(c) JO???l???l?ml2LO?ml2? 122322424

133(d) JO?mR2?mR2?mR2 LO?mR2? 222

11-4 如图11-27所示，均质三角形薄板的质量为m，高为h，试求对底边的转动惯量Jx。 (a) LO?

图11-27

面密度为 ?A?2m bh

y2m2my2m在y处 by?b dm??AdA??by?dy??b?dy?2ydy bhbhhhh

微小区域对于z轴的转动惯量

dJz?(h?y)2dm?

Jz??

h2my(h?y)2dy 2h02m2mh22122321y(h?y)dy?(hy?2hy?y)dy?2mh(??) h2h2?02341mh2 6

11-5 三根相同的均质杆，用光滑铰链联接，如图11-28所示。试求其对与ABC所在平面垂直的质心轴的转动惯量。

图11-28

1??1l Jz??ml2?m(h)2??3 h?23??12

?112?111Jz??ml2?m(?l)??3?(?)ml2?3?ml2 3212122?12?

11-6 如图11-29所示，物体以角速度w绕O轴转动，试求物体对于O轴的动量矩。(1) 半径为R，质量为m的均质圆盘，在中央挖去一边长为R的正方形，如图11-32a所示。(2) 边长为4a，质量为m的正方形钢板，在中央挖去一半径为a的圆，如图11-32b所示。

图11-29 (1)

11R2m22 JC?mR?m1R m1?m?26πR2π

11m3π?1JC?mR2??R2?mR2 26π6π

m(π?1)m m??m??ππ

3π?1(π?1)m29π?7JO?JC?m?R2?mR2?R?mR2 6ππ6π

7?9πLO??JO??mR2? 6π

(2)

11πa2π22JC?m(4a)?m1a m1?m?m 26216a16

81π256?3πJC?ma2??ma2?ma2 321696

π16?πm??m?m?m 1616

256?3π16?π256?3π?96?8?48πJO?JC?m??(22a)2?ma2?m?8a2?mR2 961696

1024?51π?mR2 96

51π?1024LO??JO??mR2? 96

11-7 如图11-30所示，质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A，质心为C，AC＝e；轮子半径为R，对轴心A的转动惯量为JA；C、A、B三点在同一直线上。试求下列两种情况下轮子的动量和对地面上B点的动量矩：(1)当轮子只滚不滑时，已知vA；(2)当轮子又滚又滑时，已知vA、w。

图11-30

LB??mvC(R?e)?JC???mvc(R?e)?(JA?me2)? (1)

??vA vC?(R?e)? R

vvvLB??m(R?e)2A?(JA?me2)A??[JA?me2?m(R?e)2]A RRR

(2)

vC?vA?e?

LB??m(vA?e?)(R?e)?JC?

??m(R?e)vA?me(R?e)??(JA?me2)?

??[m(R?e)vA?(JA?meR)?]

11-8 曲柄以匀角速度w绕O轴转动，通过连杆AB带动滑块A与B分别在铅垂和水平滑道中运动，如图11-31所示。已知OC＝AC＝BC＝l，曲柄质量为m，连杆质量为2m，试求系统在图示位置时对O轴的动量矩。

图11-31

?AB??(顺时针)

LO?LOC?LAB

LOC?12ml? 3

124(2m)(2l)2(??AB)?2ml2??ml2??ml2? 1233LAB?2mvCl?

LOC?52ml? 3

11-9 如图11-32所示的小球A，质量为m，连接在长为l的无重杆AB上，放在盛有液体的容器中。杆以初角速度w0绕O1O2轴转动，小球受到与速度反向的液体阻力F＝kmw，k为比例常数。问经过多少时间角速度w成为初角速度的一半？

图11-32

Lz?ml2? Mz??kml?

dLz?Mz dt

得d?k??? dtl

0 0?

?k ln??t ?0l

l?l t?ln0t?ln2 kk???d????tkdt l

11-10 水平圆盘可绕z轴转动。在圆盘上有一质量为m的质点M作圆周运动，已知其速度大小v0=常量，圆的半径为r，圆心到z轴的距离为l，M点在圆盘上的位置由f角确定，如图11-33所示。如圆盘的转动惯量为J，并且当点M离z轴最远（在点M0）时，圆盘的角速度为零。轴的摩擦和空气阻力略去不计，试求圆盘的角速度与f角的关系。

图11-33

?Mz?0 Lz?常量

Lz0?mv0(l?r)Lz?Jz??m(l2?r2?2lrcos?)??mv0r?mv0lcos? Jz??m(l?r?2lrcos?)??mv0r?mv0lcos??mv0(l?r) ??

11-11 两个质量分别为m1、m2的重物M1、M2分别系在绳子的两端，如图11-34所示。两绳分别绕在半径为r1、r2并固结在一起的两鼓轮上，设两鼓轮对O轴的转动惯量为JO，试求鼓轮的角加速度。

图11-34

Lz?JO??m1v1r1?m2v2r2 v1?r1?v2?r2? 22ml(1?cos?)v0 22Jz?m(l?r?2lrcos?)

Lz?(JO?m1r12?m2r22)?

?Mz?m1gr1?m2gr2

dLz??Mz dt

22 (JO?m1r1?m2r2)??m1gr1?m2gr2

m1gr1?m2gr2 22JO?m1r1?m2r2

11-12 如图11-35所示，为求半径R＝0.5m的飞轮A对于通过其重心轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳的末端系一质量为m1＝8kg的重锤，重锤自高度h＝2m处落下，测得落下时间t1＝16s。为消去轴承摩擦的影响，再用质量为m2＝4kg的重锤作第二次试验，此重锤自同一高度落下的时间t2＝25s。假定摩擦力矩为一常数，且与重锤的重量无关，试求飞轮的转动惯量和轴承的摩擦力矩。

图11-35

vJ?mR2

Lz??(J??mvR)??(J?mvR)??()v RR

?Mz?Mf?mgR

dLz??Mz dt

J?mR2

)a?mgR?Mf (R

(J?mR2)a?(mgR?Mf)R 22h (J?mR)2?(mgR?Mf)R t

(mgR?Mf)Rt22 J?mR? 2h

第一次试验

(8?g?0.5?Mf)?0.5?162

J?8?0.5? 2?2

J?2?32(4g?Mf)(1) 2

第二次试验

(4?g?0.5?Mf)?0.5?252

J?4?0.5? 2?2

J?1?78.125(2g?Mf) (2) 2

(1)-(2)

《理论力学动量矩习题》
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