篇一：电磁学第六次作业解答
电磁学第六次作业解答
第八章 真空中的稳恒磁场
8-2 如图所示，一无限长直导线通有电流I =10 A，在一处折成夹角＝60°的折线，求角平分线上与导线的垂直距离均为r =0.1 cm的P点处的磁感强度．(
0 =4
×10-7 H·m-1)
???
解：P处的B可以看作是两载流直导线所产生的，B1与B2的方向相同． B?B1?B2
?I?I
?0[sin60??sin(?90?)]?0[sin90??sin(?60?)]
4?r4?r?I
?20(sin90??sin60?)?3.73×10-3 T
4?r方向垂直纸面向上．
8-4 将通有电流I的导线在同一平面内弯成如图所示的形
?
状，求D点的磁感强度B的大小．
解：其中3/4圆环在D处的场 B1?3?0I/(8a)
1
AB段在D处的磁感强度B2?[?0I/(4?b)]?(2)
21
BC段在D处的磁感强度B3?[?0I/(4?b)]?(2)
2
???
B1、B2、B3方向相同，可知D处总的B为 B?
8-12 如图所示，有一密绕平面螺旋线圈，其上通有电流 I I，总匝数为N，它被限制在半径为R1和R2的两个圆周之间．求此螺旋线中心O处的磁感强度．
1
?0I3?
4?2a(
?
2
) b
R2
解：以O为圆心，在线圈所在处作一半径为r的圆．则在r到r + dr的圈数为
N
dr
R2?R1
?0NIdr
由圆电流公式得 dB?
2r(R2?R1)
R2
B?方向⊙
R1
?2r(R
?0NIdr
2
?R1)
?
?0NI
2(R2?R1)
ln
R2
R1
8-13 图所示为两条穿过y轴且垂直于x－y平面的平行长直导线的正视图，两条导线皆通有电流I，但方向相反，它们到x轴的距离皆为a．
?
(1) 推导出x轴上P点处的磁感强度B(x)的表达式.(2) 求P点在x轴上何处时，该点的B取得最大值．
解：(1) 利用安培环路定理可求得1导线在P点产生的磁感强度的大小为：
?I?I1 B1?0?0?2 21/22?r2?(a?x)
2导线在P点产生的磁感强度的大小为：
?0I?0I1
B2? ??2
21/2
2?r2?(a?x)??
B1、B2的方向如图所示． P 点总场
Bx?B1x?B2x?B1co?s?B2co?s By?B1y?B2y?0
??0Ia?0Ia?
B(x)?，B(x)?i 2222
?(a?x)?(a?x)
dB(x)d2B(x)
?0，??0时，B(x)最大． (2) 当
dxdx2
由此可得：x = 0处，B有最大值．
8-16 如图所示，一无限长载流平板宽度为a，线电流密度(即沿x方向单位长度上的电流)为，求与平板共面且距平板一边为b的任意点P的磁感强度．
解：利用无限长载流直导线的公式求解．
(1) 取离P点为x宽度为dx的无限长载流细条，它的电流 di??dx
(2) 这载流长条在P点产生的磁感应强度
?di?0?dx
? dB?0 2?x2?x方向垂直纸面向里．
(3) 所有载流长条在P点产生的磁感强度的方向都相同，所以载流平板在P点产生的磁感强度 B??dB?方向垂直纸面向里．
?0?
2?
a?b
?
b
dx?0?a?b
?ln 2?bx
篇二：电磁感应作业习题及解答(赵近芳编)
10-4 如题10-4图所示，载有电流I的长直导线附近，放一导体半圆环MeN与长直导线共面，且端点MN的连线与
长直导线垂直．半圆环的半径为b，环心O与导线相距a．设半圆环以速度v平行导线平移．求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN两端的电压UM?UN．
解: 作辅助线MN，则MeNM构成闭合回路，当整个回路以速度v沿v方向运动时，通过整个回路的磁通量始终不变，即d?m?0，则?MeNM??MeN??MN??
即又∵ ?MN
N
?
d?m
?0 dt
O?题10-4图
r
?MeN??MN
a?ba?b?Iv?Iva?b???0
??(v?B)?dl??vBcos?dr???dr?0ln?0 Ma?ba?b2?r2?a?b
所以?MeN方向沿NeM方向，大小为
?0Iva?b
ln 2?a?b.
??
v?BO?
M点电势高于N点电势，MN两端的电压:
UMN?UM?UN?
?0Iva?b
ln 2?a?b
?
r
法二：如题10-4图2所示建立坐标系，在弧MeN上任意位置r处
取线元dl，方向如图，其与v 方向夹角为θ，dr=dlsinθ，则
题10-4图2
?MN
NNa?b?Iv?Iva?b????0
??(v?B)?dl??vBcos(??)dl???vBsin?dl???dr?0ln?0 MMMa?b2?r22?a?bN
所以?MeN方向沿NeM方向，大小为
?0Iva?b
ln 2?a?b
M点电势高于N点电势，MN两端的电压:UMN?UM?UN?
?0Iva?b
ln 2?a?b
10-5 如题10-5所示，在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈．两导线中的电流方向相反、大小相等，且电流以
dI
的变化率增大，求：(1)任一时刻线圈内所通过的磁通量； dt
O 题10-5图
x
(2)线圈中的感应电动势．
解: 如图建立坐标系，矩形线圈面积上任意点的磁场强度大小为：
B?
?0I11
(?)，方向垂直纸面向里，取顺时针为L正绕向，则 2?xx?b?d
(1) 任一时刻线圈内所通过的磁通量为：?m?
或（法2）：以向外磁通为正则，?m?
?
d?a
?0Il1
ldr??
d
?Ild?a1b?a
(?)dx?0[ln?ln] 2πxx?b?d2πdb
d?a
?
b?a
?0I
2πr
?0I
2πr
bd
dr?
?0Il
2π
[ln
b?ad?a
?ln] bd
(2) 线圈中的感应电动势为： ???
因为：ad?ab? ln
10-7 如题10-7图所示，长直导线通以电流I=5A，在其右方放一长方形线圈，两者共面．线圈长b=0.06m，宽
s-1垂直于直线平移远离．求：d=0.05m时线圈中感应电动势的大小和方向． a=0.04m，线圈以速度v=0.03m·
解: 在长方形线圈平面上，磁场方向垂直于平面向内。AB、CD运动速度v方向与其长度方向平行，对边上任意
导线元，均有d??(v?B)?dl?0，因而AB、CD不产生动生电动势．
d?m?0lb?ad?adI?0ldI(b?a)d
?[ln?ln]?ln
dt2πbddt2πdt(d?a)b
(b?a)ddI
?0,所以：??0，即线圈中的感应电动势方向为逆时针。 ?0，又dt(d?a)b
?
?
??
?I???
DA产生电动势：?1??(v?B)?dl?vBb?vb0
D2?d
A
BC产生电动势：?2??
C
B
???
(v?B)?dl??vb
?0I
2π(a?d)
题10-7图
∴ 回路中总感应电动势：???1??2?
?0Ibv1
2π1(?)?1.6?10?8V，方向：沿顺时针． dd?a
法二：设任意时刻线圈左边距导线距离为x，取顺时针为L正绕向， 则通过此线圈的磁通量为：?m?B?dS?
S
?
??
?
x?a
?0Ib
2πr
x
dr?
?0Ib
2π
ln
x?ax
由题知：
dx
?v，则任意时刻线圈中的感应电动势为： dt
???
d?m?0Ib11dx?0Ibv11
?(?)?(?) dt2πxx?adt2πxx?a
运动到题中图示位置时，x=d，则有： ??
(V)
方向：沿顺时针。
?0Ibv1
2π
(d
?
1
)?1.68?10?8
d?a
??
10-8 长度为l的金属杆ab以速率v在导电轨道abcd上平行移动．已知导轨处于均匀磁场B中，B的方向与
?
回路的法线成60°角(如题10-8图所示)，B的大小为B=kt(k为正常)．设t=0时杆位于cd处，
求：任一时刻t导线回路中感应电动势的大小和方向． 解: 与矩形导体回路法向相顺应，该回路的正绕向为逆时针绕向。
任意时刻，该矩形导体回路中的磁通量为：
??11
?m??B?dS?B(t)S(t)cos60??kt?lvtcos60??kt2lv?klvt2
22
d?m
??klvt?0 ∴ ???dt
该感应电动势为负，表明回路中电动势的方向为顺时针方向，即沿abcd方向．
题10-8图
10-10 导线ab长为l，绕过O点的垂直轴以匀角速?转动，aO=
l
磁感应强度B平行于转轴，如图10-10所示． 3
试求：（1）ab两端的电势差；（2）a,b两端哪一点电势高?
???
解: (1)在Ob上取r?r?dr一小段，其上 d??(v?B)?dl??rBdr
则: ?Ob?同理, ?Oa?
??
2l30
r
?rBdr?2B?l2/9
题10-10图
l30
?rBdr?B?l2/18
121
?)B?l2?B?l21896
∴?ab??aO??Ob?(?
故，ab两端的电势差： Uab?Ua?Ub???ab??B?l2/6 (2）∵Uab?0
，
即Ua?Ub?0
∴ b点电势高．
?
10-11 如题10-11图所示，长度为2b的金属杆位于两无限长直导线所在平面的正中间，并以速度v平行于两直导线运动．两直导线通以大小相等、方向相反的电流I，两导线相距2a．试求：金属杆两端的电势差及电动势方向． 解：在金属杆上距左边直导线为r处取dr，此处B??AB
∵
B
?0Iv11
(?)，则 2?r2a?r
O
r
a?b?Iv1??0Iva?b1???
??(v?B)?dl???0(?)dr?ln Aa?b2?r2a?r?a?b
?AB?0，∴ 实际上感应电动势方向从B?A，即图中从右向左。
?0Iva?b
ln
?a?b
题10-11图
金属杆两端的电势差 ：UAB???AB?
?B10-12 磁感应强度为的均匀磁场充满一半径为R的圆柱形空间，一金属杆放在题10-12图中位置，杆长为2R，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外．当
dB
＞0时，求：杆两端的感应电动势的大小和方向． dt
解： 法一：用法拉第电磁感应定律求解。添加辅助线，联结Oa及Oc，构成闭合回路OabcO，取回路正绕向为逆
时针，即OabcO方向，则回路中有磁通的面积：S?S?Oab
3R2πR2
，则 ?S扇??
412
?OabcO
d?mddB3R2πR2dB
????[?BS]?S?(?)
dtdtdt412dt
?OabcO??Oa??ac??cO， 由于Oa,cO均沿圆柱磁场的径向，故?Oa??cO?0
所以： ?ac
∴
dBR2πR2dB
?0 ∵ ??Oabc?(?)O
dt412dt，
题10-12图
?ac?0，即?方向从a?c。
????
法二：用感生电动势定义求解。如题10-12图2所示，取顺时针为L正绕向，由Ei?dl???B?dS，
L
S
?rdB?(r?R)??2dt
可求得：Ei?? 2
??RdB(r?R)??2rdt
上式中，负号表示感生电场的方向为逆时针。
??
根据感生电动势的定义：?i??Ei?dl
abc
有：
?i??
b
a
??c??
Ei?dl??Ei?dl，可求出：
b
b
E
?
题10-12图2
?ab?
?
a
2???c?cRdBbrdB
Ei?dl??dlcos?，?bc??Ei?dl??dlcos?
a2dtbb2rdt
题10-12图2中：rcos??
R
3??
R,dlcos??rd?,?b?,?c?，则 263
?ab?
?
3RdB3R2dB
；dl?
4dt4dt
?bc??
?c
?b
R2dBR2??dB?R2dB
rd??(?)?
2rdt233dt12dt
dB3R2πR2dB
?0 ∵ ?(?)
dt412dt，
于是得： ?ac??ab??bc
∴
?ac?0，即?方向从a?c。
10-15 一无限长的直导线和一正方形的线圈如题10-15图所示放置(导线与线圈接触处绝缘)．
求：线圈与导线间的互感系数．
解：如图建立坐标系。设长直电流为I，其在导线周围产生的磁场为：B?
?0Ia
2πr
根据对称性，直导线两侧(?a/3)至a/3区间，长直电流I产生的磁场通过线圈部分的磁通量之和为零。
故磁场通过正方形线圈的互感磁通为：
2a
???Ia?Ia
?12??B?dS?a30dr?0ln2
2πr2πS3
I O
r
所以，线圈与导线间的互感系数： M?
?12
I
?
?0a
2π
ln2
题10-15图
10-18 一矩形截面的螺绕环如题10-18图所示，共有N匝．试求：
(1) 此螺线环的自感系数；
(2) 若导线内通有电流I，环内磁能为多少?
解：(1) 如题10-18图示，设螺绕管中通有电流I，如图取Or坐标系、
取微元截面dS =hdr,
在a< r < b的管腔中的区域，取半径为r的圆为回路，则 由安培环路定理，可得：B?2?r??0NI ∴ 管腔中的B值为: B??0NI/2?r
???NI
则通过此微元截面的磁通量为: d?m?B?dS?BdS?0 hdr
2?r
题10-18图
??b?NI?N2Ihb00则通过此螺绕管的管腔的磁链为: ??N?m?NB?dS?N?ln ??a2?r2?aS
??0N2hb
?ln 螺线环的自感系数: L?I2πa12
(2)∵ 自感磁能： Wm?LI
2
∴ 环内磁能为：Wm?
10-19 一无限长圆柱形直导线，其截面各处的电流密度相等，总电流为I．
求：导线内部单位长度上所储存的磁能．
解：由电流分布的轴对称性知，其磁场分布也是轴对称的。在长圆柱形导线
横截面取同心(O)圆周环路，应用安培环路定理，有：
?0N2I2h
4π
ln
ba
??I2
B?dl?B(r)2?r??I??()?r?0i02
?Ri,L内L
?0I2r2B2
故，在r?R时： B?因而磁能密度：wm??
2πR2，2?08π2R4
?0Ir
此微元体积中的磁场能为：
题10-19图
在导线内r处取单位长(l=1m)的微元体积dV = 2πrldr =2πrdr (是与该长圆柱形导线同轴的薄圆筒），
?0I22?0I23
dWm=?mdV?r2?rdr?rdr
8?2R44?R4
则导线内部单位长度上所储存的磁能为：
?0I2R3?0I2
Wm??dWm??rdr?
16?4?R40
篇三：练习十一参考答案
练习题十一参考答案
一、选择题：
1. 如图，导体棒AB在均匀磁场B中绕过C点的垂直于棒长且沿
13
??
磁场方向的轴OO’转动（角速度?与B同方向），BC的长度为
棒长的
。则： [ A ]
(A)A点比B点电势高. (B)A点与B点电势相等. (C)A点比B点电势低.
(D)有稳恒电流从A点流向B点.
212对线圈1的互感系数为M12。若它们分别流过i1和i2的变化电流且di1di2
??12，由，并设由i变化在线圈1中产生的互感电动势为2dtdt
i1变化在线圈2中产生的互感电动势为?21，判断下述哪个论断正确？ [ C ]
(A)M12=M21，?21=?12。
(B)M12?M21，?21
??12。
(C)M12
=M21，??。 (D)M，
??。
解: 由于M12=M21
3. 已知圆环式螺线管的自感系数为L。若将该螺线管锯成两个半环式的螺线管，则两个半环螺线管的自感系数： [ D ]
1
(A)都等于2
1
(C)都大于
11
(B)有一个大于2L，另一个小于2
1
(D)都小于L。
L。 L。
L。
解:4. 真空中一根无限长直细导线上通有电流强度为I的电流，则距
导线垂直距离为a的空间某点处的磁能密度为： [ B ]
2??12?a1??0I??I1?I1?0??0??????(A) 202?a (B)
2??2?a? (C) 2??I? (D) 2??2a?
???0?0?2
2
2
解:
5.
两个线圈P和Q并联地接到一电动势恒定的电源上。线圈P的自感和电阻分别是线圈Q的两倍。当达到稳定状态后，线圈P的磁场能量与Q的磁场能量的比值是： [ D ]
(A) 4. (B) 2. (C) 1. (D)2.
解:
Lp?2LQ Rp?2RQ
当达到稳定状态后, 由于并联
6. 如图，平板电容器（忽略边缘效应）充
?
电时，沿环路L1、L2磁场强度H的环流中，必有：[ C ]
????(A)H?dl?H?dl
L1
L2
i 解: ??????????
(B)
H?dl?H?d
l (C)H?dl?H?dl (D)H?dl?0.
L1
L2
L1
7. 对位移电流，有下述四种说法，请指出哪一种说法正确？ [ A ] (A)位移电流是由变化电场产生的。 (B)位移电流是由变化磁场产生的。
(C)位移电流的热效应服从焦耳---楞次定律。 (D)位移电流的磁效应不服从安培环路定理。 解: 位移电流是由变化电场产生的
。
??
B8. 在圆柱形空间内有一磁感应强度为B的均匀磁场，如图所示，
的大小以速率dB/dt变化。有一长度为l0的金属棒先后放在磁场的两个不同位置1(a b)和2(a?b?)，则金属棒在这两个位置时棒内的感应电动势的大小关系为 [ B ]
??1.
????2??1?0
解: 二、填空题：
1．一段导线被弯成圆心在O点、半径为R 的三段圆弧ab、bc、
(A)?2??1?0 (B)?2
ca，它们构成了一个闭合回路，ab位于XOY平面内，bc和ca分
?
别位于另两个坐标面中（如图）。均匀磁场B
沿X轴正方向穿过圆弧bc与坐标轴所围成的平面。设磁感应强度随时间的变化率为
a b c a中感应电动势的
bc中感应电流的方向是
2．如图，aOc为一折成∠形的金属导线(a O=Oc=L)，位于XY平面中；磁感应强度?
为B的匀强磁场垂直于XY平面。当aOc
?
以速度v沿X轴正向运动时，导线上a、c
点电势高。
解:沿X轴正向运动时,
两点间电势差Uac?vBLsin?当aOc
?
以速度v沿Y轴正向运动时，a、c两点中
Uac?Uao??oa?vBLsin?
沿Y轴正向运动时,
?ao?vBcLo?s ?co?vBL
Uo?Ua?vBLcos?，Uo?UC?vBL，Ua?UC。
3
．真空中，有一半径为R的两块圆板构成的平行板电容器，当使
?
此电容器充电因而两极板间电场强度E随时间变化时，若略去边缘效应，则电容器两板间的位移电流的大小为，位移电
解
4．反映电磁场基本性质和规律的积分形式的麦克斯韦方程组为
????
D?dS??qi, (1)E?dl??d?m/dt, (2)
??
SB?dS?0, (3)
S
L
??
H?dl??Ii?d?e/dt (4)
L
试判断下列结论是包含于或等效于哪一个麦克斯韦方程式的。将你确定的方程式用代号填在相应结论后的空白处。 （1）变化的磁场一定伴随有电场， （2）磁感应线是无头无尾的，(3)； （3）电荷总伴随有电场， (1)。 三、计算题：
1. 如图，真空中一长直导线通有电流I(t)?I0e(式中I0、?为常量，t为时间)，有一带滑动边的矩形导线框与长直导线平行共面，二者相距a。矩形线框的滑动边与长直导线垂直，它的长度为b，
?
并且以匀速v(方向平行长直导线)滑动。若忽略线框中的自感电动势，并设开始时滑动边与对边重合，试求任意时刻t在矩形线框内的感应电动势?i。
解:坐标如图，取顺时针方向为回路L的正方向. dS?x(t)dy
??t
I(t)
4'
x
《一长直导线通有电流I，在其附近有一长度为a》
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